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28 nov. 2025

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Vecteurs et leurs applications

R

Romane Balp

@romanebalp_tpxn

Tu découvres ici les vecteurs, un outil mathématique super... Affiche plus

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--- OCR Start --- Chapitre 7: Vecteurs et opérations: Seconde 1 Somme de vecteurs: A) Vecteur somme: Définition: La somme de deux vecteurs $

Somme de vecteurs et relation de Chasles

Additionner des vecteurs, c'est comme enchaîner des déplacements ! Si tu fais d'abord un mouvement u⃗\vec{u}, puis un mouvement v⃗\vec{v}, le résultat final est exactement le vecteur u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}.

La relation de Chasles te donne la règle d'or : AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}. C'est logique : si tu vas de A vers B, puis de B vers C, au final tu es allé directement de A vers C !

Cette règle marche avec n'importe quels points. Par exemple : RB⃗+BR⃗=RR⃗=0⃗\vec{RB} + \vec{BR} = \vec{RR} = \vec{0} (tu reviens à ton point de départ).

💡 Astuce : Pour additionner deux vecteurs graphiquement, place le début du second à la fin du premier !

--- OCR Start --- Chapitre 7: Vecteurs et opérations: Seconde 1 Somme de vecteurs: A) Vecteur somme: Définition: La somme de deux vecteurs $

Multiplication d'un vecteur par un nombre

Quand tu multiplies un vecteur par un nombre, tu changes sa taille et parfois son sens ! Si tu multiplies u⃗\vec{u} par 1,5, tu obtiens un vecteur 1,5 fois plus long dans la même direction. Mais si tu multiplies par -2, il devient 2 fois plus long ET il change de sens.

Une propriété super utile : I est le milieu de ABAB si et seulement si AI⃗=12AB⃗\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AB}. Ça te permet de trouver facilement des milieux !

Les vecteurs suivent des règles de calcul comme les nombres : α(u⃗+v⃗)=αu⃗+αv⃗\alpha(\vec{u}+\vec{v}) = \alpha\vec{u} + \alpha\vec{v} et (α+β)u⃗=αu⃗+βu⃗(\alpha+\beta)\vec{u} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{u}.

💡 Retiens : Le vecteur opposé −u⃗-\vec{u} annule exactement u⃗\vec{u} : u⃗+(−u⃗)=0⃗\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0} !

--- OCR Start --- Chapitre 7: Vecteurs et opérations: Seconde 1 Somme de vecteurs: A) Vecteur somme: Définition: La somme de deux vecteurs $

Coordonnées et norme des vecteurs

Dans un repère avec une base orthonormée (i⃗;j⃗)(\vec{i};\vec{j}), chaque vecteur u⃗\vec{u} s'écrit u⃗=xi⃗+yj⃗\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} où (x;y) sont ses coordonnées. C'est comme donner l'adresse précise du vecteur !

Pour calculer la norme (la longueur) d'un vecteur u⃗(x;y)\vec{u}(x;y), tu utilises la formule ∣∣u⃗∣∣=x2+y2||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}. C'est le théorème de Pythagore appliqué aux vecteurs !

Quand tu multiplies un vecteur par un nombre aa, sa norme devient : ∣∣au⃗∣∣=∣a∣×∣∣u⃗∣∣||a\vec{u}|| = |a| \times ||\vec{u}||. Le nombre peut changer la longueur, mais on prend sa valeur absolue.

💡 Pratique : Les coordonnées te permettent de faire tous les calculs numériquement plutôt que graphiquement !

--- OCR Start --- Chapitre 7: Vecteurs et opérations: Seconde 1 Somme de vecteurs: A) Vecteur somme: Définition: La somme de deux vecteurs $

Vecteurs colinéaires et déterminant

Deux vecteurs sont colinéaires quand ils ont la même direction (même s'ils n'ont pas le même sens). Mathématiquement, u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires si v⃗=au⃗\vec{v} = a\vec{u} pour un certain nombre aa.

Pour vérifier si deux vecteurs u⃗(x;y)\vec{u}(x;y) et v⃗(x′;y′)\vec{v}(x';y') sont colinéaires, calcule leur déterminant : xy′−x′yxy' - x'y. S'il vaut 0, ils sont colinéaires. Sinon, ils ne le sont pas !

Par exemple, avec u⃗(−2;8)\vec{u}(-2;8) et v⃗(−4;5)\vec{v}(-4;5) : (−2)×5−8×(−4)=−10+32=22≠0(-2) \times 5 - 8 \times (-4) = -10 + 32 = 22 \neq 0. Donc ils ne sont pas colinéaires.

💡 Méthode : Le déterminant est ton outil de vérification rapide pour la colinéarité !

--- OCR Start --- Chapitre 7: Vecteurs et opérations: Seconde 1 Somme de vecteurs: A) Vecteur somme: Définition: La somme de deux vecteurs $

Applications : parallélisme et alignement

La colinéarité te donne des outils puissants en géométrie ! Deux droites (AB) et (EF) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB⃗\vec{AB} et EF⃗\vec{EF} sont colinéaires.

Pour l'alignement, c'est le même principe : trois points A, B, C sont alignés si et seulement si AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC} sont colinéaires. Tu peux aussi utiliser BA⃗\vec{BA} et BC⃗\vec{BC}, ou n'importe quelle autre combinaison.

Dans les exercices, tu utiliseras souvent ces propriétés pour démontrer des alignements. La technique : tu calcules les coordonnées des vecteurs, puis tu vérifies si leur déterminant vaut zéro.

💡 Stratégie : Pour prouver un alignement, choisis les deux vecteurs les plus simples à calculer !

--- OCR Start --- Chapitre 7: Vecteurs et opérations: Seconde 1 Somme de vecteurs: A) Vecteur somme: Définition: La somme de deux vecteurs $
--- OCR Start --- Chapitre 7: Vecteurs et opérations: Seconde 1 Somme de vecteurs: A) Vecteur somme: Définition: La somme de deux vecteurs $
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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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Raoul

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Mathématiques

Grandeurs Vectorielles et Mesures

vecteur

 

Maths

•

148

•

28 nov. 2025

•

8 pages

Vecteurs et leurs applications

R

Romane Balp

@romanebalp_tpxn

Tu découvres ici les vecteurs, un outil mathématique super puissant qui te permet de représenter des mouvements et des déplacements dans l'espace. Imagine que tu donnes des directions précises à quelqu'un : les vecteurs fonctionnent exactement comme ça !

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Somme de vecteurs et relation de Chasles

Additionner des vecteurs, c'est comme enchaîner des déplacements ! Si tu fais d'abord un mouvement u⃗\vec{u}, puis un mouvement v⃗\vec{v}, le résultat final est exactement le vecteur u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}.

La relation de Chasles te donne la règle d'or : AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}. C'est logique : si tu vas de A vers B, puis de B vers C, au final tu es allé directement de A vers C !

Cette règle marche avec n'importe quels points. Par exemple : RB⃗+BR⃗=RR⃗=0⃗\vec{RB} + \vec{BR} = \vec{RR} = \vec{0} (tu reviens à ton point de départ).

💡 Astuce : Pour additionner deux vecteurs graphiquement, place le début du second à la fin du premier !

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Multiplication d'un vecteur par un nombre

Quand tu multiplies un vecteur par un nombre, tu changes sa taille et parfois son sens ! Si tu multiplies u⃗\vec{u} par 1,5, tu obtiens un vecteur 1,5 fois plus long dans la même direction. Mais si tu multiplies par -2, il devient 2 fois plus long ET il change de sens.

Une propriété super utile : I est le milieu de ABAB si et seulement si AI⃗=12AB⃗\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AB}. Ça te permet de trouver facilement des milieux !

Les vecteurs suivent des règles de calcul comme les nombres : α(u⃗+v⃗)=αu⃗+αv⃗\alpha(\vec{u}+\vec{v}) = \alpha\vec{u} + \alpha\vec{v} et (α+β)u⃗=αu⃗+βu⃗(\alpha+\beta)\vec{u} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{u}.

💡 Retiens : Le vecteur opposé −u⃗-\vec{u} annule exactement u⃗\vec{u} : u⃗+(−u⃗)=0⃗\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0} !

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Coordonnées et norme des vecteurs

Dans un repère avec une base orthonormée (i⃗;j⃗)(\vec{i};\vec{j}), chaque vecteur u⃗\vec{u} s'écrit u⃗=xi⃗+yj⃗\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} où (x;y) sont ses coordonnées. C'est comme donner l'adresse précise du vecteur !

Pour calculer la norme (la longueur) d'un vecteur u⃗(x;y)\vec{u}(x;y), tu utilises la formule ∣∣u⃗∣∣=x2+y2||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}. C'est le théorème de Pythagore appliqué aux vecteurs !

Quand tu multiplies un vecteur par un nombre aa, sa norme devient : ∣∣au⃗∣∣=∣a∣×∣∣u⃗∣∣||a\vec{u}|| = |a| \times ||\vec{u}||. Le nombre peut changer la longueur, mais on prend sa valeur absolue.

💡 Pratique : Les coordonnées te permettent de faire tous les calculs numériquement plutôt que graphiquement !

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Vecteurs colinéaires et déterminant

Deux vecteurs sont colinéaires quand ils ont la même direction (même s'ils n'ont pas le même sens). Mathématiquement, u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires si v⃗=au⃗\vec{v} = a\vec{u} pour un certain nombre aa.

Pour vérifier si deux vecteurs u⃗(x;y)\vec{u}(x;y) et v⃗(x′;y′)\vec{v}(x';y') sont colinéaires, calcule leur déterminant : xy′−x′yxy' - x'y. S'il vaut 0, ils sont colinéaires. Sinon, ils ne le sont pas !

Par exemple, avec u⃗(−2;8)\vec{u}(-2;8) et v⃗(−4;5)\vec{v}(-4;5) : (−2)×5−8×(−4)=−10+32=22≠0(-2) \times 5 - 8 \times (-4) = -10 + 32 = 22 \neq 0. Donc ils ne sont pas colinéaires.

💡 Méthode : Le déterminant est ton outil de vérification rapide pour la colinéarité !

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Applications : parallélisme et alignement

La colinéarité te donne des outils puissants en géométrie ! Deux droites (AB) et (EF) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB⃗\vec{AB} et EF⃗\vec{EF} sont colinéaires.

Pour l'alignement, c'est le même principe : trois points A, B, C sont alignés si et seulement si AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC} sont colinéaires. Tu peux aussi utiliser BA⃗\vec{BA} et BC⃗\vec{BC}, ou n'importe quelle autre combinaison.

Dans les exercices, tu utiliseras souvent ces propriétés pour démontrer des alignements. La technique : tu calcules les coordonnées des vecteurs, puis tu vérifies si leur déterminant vaut zéro.

💡 Stratégie : Pour prouver un alignement, choisis les deux vecteurs les plus simples à calculer !

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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utilisateur Android

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Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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