Introduction à la cinématique

Imagine pouvoir décomposer un mouvement trop rapide pour l'œil nu ! C'est exactement ce que fait la cinématique, qui étudie les mouvements sans se préoccuper de leurs causes.

La chronophotographie est ta meilleure amie pour comprendre les mouvements. Elle consiste à prendre des photos successives à intervalles réguliers $Δt = ti+1 - ti$ pour analyser chaque phase d'un mouvement.

Selon l'espacement entre les positions, tu peux identifier le type de mouvement : rectiligne uniforme (positions équidistantes), rectiligne accéléré (positions de plus en plus espacées) ou rectiligne ralenti (positions de plus en plus rapprochées).

Astuce pratique : Plus les positions sont espacées, plus l'objet va vite à ce moment-là !

Le vecteur vitesse instantané

Le vecteur position r⃗(t) = OM⃗(t) = x(t)ux + y(t)uy + z(t)uz te donne la position d'un point M à l'instant t. Mais comment savoir dans quelle direction et à quelle vitesse il se déplace ?

C'est là qu'intervient le vecteur vitesse instantané : v⃗(t) = dr⃗/dt = lim(Δt→0)$r⃗(t + Δt) - r⃗(t)$/Δt. Ce vecteur a trois caractéristiques cruciales à retenir.

Sa direction est toujours tangente à la trajectoire, son sens suit le mouvement, et sa norme ||v⃗(t)|| = v(t) ≈ Δr/Δt te donne la valeur de la vitesse en m·s⁻¹.

Point clé : Le vecteur vitesse "pointe" toujours dans la direction où va l'objet !

Le vecteur accélération

Maintenant que tu maîtrises la vitesse, passons au vecteur accélération ! Il représente comment la vitesse change au cours du temps : a⃗(t) = dv⃗/dt = lim(Δt→0)$v⃗(t + Δt) - v⃗(t)$/Δt.

Pour bien visualiser Δv⃗ = v⃗$t + Δt$ - v⃗(t), place les deux vecteurs vitesse bout à bout. Le vecteur qui les relie, c'est Δv⃗ !

L'accélération a la même direction et le même sens que Δv⃗, avec une norme ||a⃗(t)|| = a(t) = dv/dt ≈ Δv/Δt exprimée en m·s⁻².

Attention : L'accélération peut exister même si la vitesse reste constante en norme, mais change de direction !

Expressions vectorielles dans l'espace

Tu vas maintenant pouvoir exprimer tous ces vecteurs avec leurs coordonnées dans une base (ux, uy, uz). C'est comme donner l'adresse précise de chaque vecteur !

Vecteur position : r⃗(t) = x(t)ux + y(t)uy + z(t)uz Vecteur vitesse : v⃗(t) = $dx/dt$ux + $dy/dt$uy + $dz/dt$uz = vx(t)ux + vy(t)uy + vz(t)uz

Vecteur accélération : a⃗(t) = $d²x/dt²$ux + $d²y/dt²$uy + $d²z/dt²$uz = ax(t)ux + ay(t)uy + az(t)uz

Remarque que la vitesse est la dérivée première de la position, et l'accélération est la dérivée seconde de la position (ou la dérivée première de la vitesse).

Méthode : Pour passer de la position à la vitesse, puis à l'accélération, tu dérives simplement chaque coordonnée !

Introduction à la dynamique

Passons maintenant aux causes du mouvement avec la dynamique ! Le centre de masse d'un système représente le point moyen de répartition de la masse - imagine-le comme le point d'équilibre parfait.

Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel la première loi de Newton (principe d'inertie) fonctionne. Cette loi dit qu'un système isolé (aucune force extérieure) ou pseudo-isolé (forces extérieures qui se compensent) reste au repos ou en mouvement rectiligne uniforme.

Mathématiquement : ∑F⃗ext = 0⃗ ⟺ Δv⃗ = 0⃗. C'est le cas du palet de curling qui glisse sans frottement !

Exemple concret : Un livre posé sur une table est pseudo-isolé car son poids et la réaction de la table se compensent.

Les lois de Newton

La deuxième loi de Newton $RFD - Relation Fondamentale de la Dynamique$ est l'outil le plus puissant de la mécanique : ∑F⃗ext = ma⃗ = m$dv⃗/dt$.

Cette équation te dit que si la somme des forces n'est pas nulle, alors la vitesse du système va changer ! Tu peux l'utiliser dans les deux sens : connaître les forces pour trouver l'accélération, ou connaître le mouvement pour trouver les forces.

La troisième loi de Newton établit que les forces vont toujours par paires : F⃗A/B = -F⃗B/A. Si tu pousses un mur, il te "repousse" avec la même force !

L'exemple du pendule pesant montre comment appliquer la RFD : deux forces (poids P⃗ et tension T⃗) donnent a⃗ = $P⃗ + T⃗$/m.

Stratégie : Identifie toujours toutes les forces avant d'appliquer la RFD !

Applications pratiques

Les exercices te montrent comment utiliser concrètement ces concepts. Pour le mobile autoporteur, tu calcules les vitesses v⃗₃ et v⃗₄ avec v = distance/temps, puis tu construis graphiquement Δv⃗ = v⃗₄ - v⃗₃.

Le vecteur variation de vitesse Δv⃗ a la même direction que la somme des forces d'après la RFD : ∑F⃗ext = m$Δv⃗/Δt$.

Pour le cycliste, les vecteurs vitesses étant colinéaires (mouvement rectiligne), tu peux calculer directement Δv = vB - vA = 6 km/h ≈ 1,67 m/s, puis déduire la masse avec m = FΔt/Δv.

Conseil méthodologique : Dessine toujours un schéma avec tous les vecteurs avant de calculer !

Équilibre et projections de forces

L'exercice de la caisse suspendue illustre parfaitement l'équilibre statique. Trois forces s'appliquent : le poids P⃗ et les deux tensions T⃗₁ et T⃗₂ des câbles.

Pour résoudre ce type de problème, tu projettes les forces sur les axes : P⃗ + T⃗₁ + T⃗₂ = 0⃗ devient un système d'équations. Sur l'axe x : T₁ sin α - T₂ sin β = 0, sur l'axe y : T₁ cos α + T₂ cos β = P.

Le skieur sur piste inclinée montre comment décomposer le poids : Px = P sin α (composante qui fait descendre) et Py = -P cos α (composante perpendiculaire à la piste). L'accélération de descente vaut ax = g sin α.

Technique clé : Choisis intelligemment tes axes de projection pour simplifier les calculs !

Mouvements complexes

Le skieur au téléski combine plusieurs concepts : mouvement rectiligne uniforme (première loi de Newton), forces multiples (poids, réaction, tension, frottements), et projections sur axes inclinés.

Quand le skieur descend à vitesse constante, ∑F⃗ = 0⃗. Les frottements compensent exactement la composante du poids le long de la pente : f = mg sin α.

Avec le téléski, la tension T de la perche s'ajoute aux forces. Tu obtiens un système d'équations par projection : selon x (pente) et selon y (perpendiculaire à la piste). Ces équations te donnent T = $f + mg sin α$/cos β.

Point important : Dans les mouvements uniformes, toutes les forces se compensent parfaitement !