Dynamique du dipôle RC

Légende alternative :

face à face, les armatures, séparées par un matériau isolant appelé diélectrique. Dans un circuit électrique, le symbole normalisé du condensateur est : 36 Comportement d'un condensateur et capacité : Un condensateur se charge lorsqu'il est soumis à une tension électrique. Un courant électrique circule, ce qui permet à des charges de signes opposés de s'accumuler sur chacune des surfaces conductrices. Un champ électrique apparaît alors entre les armatures¹. S C = ε = Les condensateurs usuels ont souvent des capacités de quelques microfarads (10-6 F) ou nanofarads (10-9 F) ou encore très rarement millifarads (10-³ F). L'aptitude d'un condensateur à accumuler sur ses surfaces conductrices un grand nombre de charges électriques est appelée capacité. Notée C, elle caractérise un condensateur et s'exprime en farad (F): Pour une tension donnée, plus la capacité d'un condensateur est grande, plus il emmagasine de charges sur ses armatures. Pour détecter la présence d'un objet à proximité ou un déplacement, les capteurs capacitifs (voir ci-contre) peuvent utiliser la mesure de la variation de diverses grandeurs : capacité, charge des surfaces conductrices ou champ électrique à l'intérieur du condensateur. La capacité d'un condensateur est donc proportionnelle à la surface des électronie internet armatures et inversement proportionnelle à la distance qui les sépare. A dq i = = C. dt UAB=UC + + NB: si q augmente, i > 0 et si q diminue, i < 0. Grille conductrice duc dt + + 9A 9B=-9A B Conversion du toucher en coordonnées x, y Modification du champ électrique Relation entre la charge électrique et la tension pour un condensateur : La capacité du condensateur traduit son aptitude à accumuler des charges électriques. La charge q de l'armature (en coulomb C) du condensateur est proportionnelle à la tension uc entre ses armatures et C est le coefficient de proportionnalité : q = C.uc Écran tactile De plus, l'intensité du courant est la dérivée de la charge électrique q par rapport au temps. L'intensité i(t) du courant électrique dans la branche d'un condensateur, notée plus simplement i, s'exprime donc : Le modèle du circuite RC série : Charge et décharge d'un condensateur : L'association en série d'un condensateur de capacité C et d'un conducteur ohmique de résistance R constitue un dipôle RC. Étudions comment se charge ou se décharge le condensateur d'un tel dipôle lorsqu'une tension constante est appliquée entre ses bornes. ¹ On notera qu'il existe des « condensateurs naturels », à l'instar d'un orage, où le sol et les nuages constituent des << armatures » où s'accumulent les charges et où les éclairs manifestent la présence d'un champ électrique important. CAS DE LA CHARGE Un condensateur est initialement déchargé (uc = 0 V), et l'interrupteur est en position 2. À la date t = 0 s, l'interrupteur est basculé en position 1. R.C. 2 duc dt 1 UR D'après la loi des mailles : UR + uc = E. duc Or, uR R i et i = C.9 dt + uc = E ⇒ R On en déduit l'équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur lors de sa charge : duc dt Schéma du circuit électrique B Établissement de l'équation différentielle vérifiée par la tension uc E uc 1 RC uc(t): = E-1-e RC (₁ uc + E RC t(s) CAS DE LA DÉCHARGE Un condensateur est initialement chargé tel que uc = E, et l'interrupteur est en position 1. À la date t = 0 s, l'interrupteur est basculé en position 2. Le condensateur est initialement déchargé : uc(t = 0) = 0. Il vient: K=-E. La solution de l'équation différentielle est donc : 2 R.C. UR duc dt R ·+uc=0⇒ D'après la loi des mailles : UR + uc = 0. Or, UR = R i et i = C. duc dt temps t, la constante a est la constante b est(charge) ou zéro (décharge). RC' On en déduit l'équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur lors de sa décharge : duc dt C A Détermination de la solution de l'équation différentielle vérifiée par la tension uc Les solutions d'une équation différentielle y' = ay + b (avec a # 0) sont de la forme y = K. eax - b avec KER une constante d'intégration. Ici, la fonction y est la tension uc, la variable x est le a 'В uc = K e RC Les solutions de l'équation différentielle sont Les solutions de l'équation différentielle sont donc de la forme : donc de la forme : uc = K e RC + E Détermination de la constante d'intégration K à partir des conditions initiales 1 RC uc t(s) uc uc (t) = E. e RC Allure de la courbe uc (t) donnant la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps tuc (V) tuc (V) Le condensateur est initialement chargé : uc(t = 0) = E. Il vient: K = E. La solution de l'équation différentielle est donc : Temps caractéristique : Le temps caractéristique T, aussi appelé constante de temps, caractérise la rapidité de la charge ou de la décharge d'un condensateur et s'écrit : T=R.C uc (V) T permet de déterminer la durée de la charge ou de la décharge d'un dipôle RC. En effet, la solution de l'équation différentielle montre que pour une durée de 57, la tension uc a atteint sa valeur finale (E en charge ou 0 V en décharge) ; on passe d'un régime transitoire à un régime stationnaire ou permanent. Il est possible de déterminer graphiquement le temps caractéristique 7 grâce à plusieurs méthodes² (ci-contre). E 0,63 x E 0 2 On notera que lors de la décharge, la tension uc atteint 37% de sa limite E à la date t = T. La tangente à l'origine coupe l'asymptote à la date t = t. La tension u atteint 63 % de sa limite É à la date t = t. t(s)