Mouvement dans un champ de gravitation

Dans un référentiel astrocentrique supposé galiléen, tout corps de masse m situé à une distance R de l'astre central S est soumis uniquement à la force de gravitation :

Formule: F = -G$Mm/R²$ * u_R

Où u_R est un vecteur unitaire radial et centripète.

En appliquant la deuxième loi de Newton, on obtient l'accélération du corps :

Formule: a = -GM/R² * u_R

Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon R, la troisième loi de Kepler se simplifie :

Formule: T² = 4π² * R³ / (GM)

Cette relation permet de déterminer la vitesse du corps sur son orbite circulaire :

Formule: v² = GM/R

Analyse dimensionnelle

L'analyse dimensionnelle de la troisième loi de Kepler confirme sa cohérence :

• Longueur : L (mètre)
• Masse : M (kilogramme)
• Durée : T (seconde)

La constante gravitationnelle G a pour unité : m³ kg⁻¹ s⁻²

Cette analyse permet de vérifier la validité des équations et de s'assurer que les unités sont correctement utilisées dans les calculs liés aux lois de Kepler.

Première loi de Kepler : les orbites elliptiques

La première loi de Kepler stipule que les planètes décrivent des orbites elliptiques autour du Soleil, ce dernier occupant l'un des foyers de l'ellipse.

Vocabulaire:

• Périhélie : point de l'orbite le plus proche de l'astre attracteur
• Aphélie : point de l'orbite le plus éloigné de l'astre attracteur

L'ellipse est caractérisée par son demi-grand axe $a$ et son demi-petit axe $b$.

Deuxième loi de Kepler : la loi des aires

La deuxième loi de Kepler, aussi appelée loi des aires, énonce que le rayon vecteur reliant le centre du Soleil au centre de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

Highlight: La vitesse de la planète n'est pas constante sur son orbite. Elle est maximale au périhélie et minimale à l'aphélie.

Pour une trajectoire circulaire, le mouvement est uniforme et la vitesse est constante.

Troisième loi de Kepler : la loi des périodes

La troisième loi de Kepler, ou loi des périodes, établit une relation entre la période de révolution T d'une planète et le demi-grand axe a de son orbite :

Formule: T² / a³ = 4π² / (GM)

Où :

• T est la période de révolution (en secondes)
• a est le demi-grand axe de l'ellipse (en mètres)
• G est la constante gravitationnelle
• M est la masse de l'astre attracteur (en kg)

Exemple: Pour la Terre, la période de révolution T est d'environ 365,25 jours.

Cette loi permet de calculer la masse de l'astre central connaissant la période et le demi-grand axe de l'orbite d'un satellite.