Lois de Kepler et repère de Frenet

Les 3 lois de Kepler

Elles décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil.

• Première loi : les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil est l'un des foyers.
• Deuxième loi : le segment Soleil-planète balaie des aires égales en des durées égales.
• Troisième loi : le rapport $\frac{T^2}{a^3}$ est constant pour toutes les planètes.

Le repère de Frenet

Ce repère mobile est idéal pour étudier les trajectoires circulaires.

• Vecteur tangentiel $\vec{u_t}$ : colinéaire au mouvement et tangent à la trajectoire.
• Vecteur normal $\vec{u_n}$ : perpendiculaire à $\vec{u_t}$ et dirigé vers le centre de courbure.

💡 Astuce : Retiens que la vitesse est toujours portée uniquement par le vecteur tangentiel $\vec{u_t}$.

Dynamique des satellites

Vitesse et période orbitale

La force gravitationnelle impose une vitesse précise aux satellites en orbite circulaire de rayon $R$.

• Vitesse orbitale : $V = \sqrt{\frac{G \cdot M_s}{R}}$, elle est indépendante de la masse du satellite.
• Période de révolution : durée d'un tour complet, soit $T = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{G \cdot M_s}}$.
• Satellite géostationnaire : fixe par rapport à la Terre, sa période $T$ vaut exactement 24 heures.

Exemple : Pour trouver la troisième loi de Kepler :

1. Écris la période : $T^2 = 4\pi^2 \frac{R^3}{G \cdot M_s}$
2. Divise par $R^3$ : $\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{G \cdot M_s} = \text{constante}$

💡 Attention : Pour les calculs, la distance $R$ doit toujours être convertie en mètres $m$ et non rester en kilomètres.