Vecteurs position et vitesse

Le vecteur position permet de localiser un point M dans l'espace. En 3D, il s'écrit $O\vec{M}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \ y(t) \ z(t) \end{pmatrix}$ et en 2D, $O\vec{H}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \ y(t) \end{pmatrix}$.

Le vecteur vitesse est défini comme la dérivée du vecteur position par rapport au temps : $\vec{v}(t) = \frac{dO\vec{M}(t)}{dt}$. Ses coordonnées sont donc $\begin{cases} v_x = \frac{dx}{dt} \ v_y = \frac{dy}{dt} \end{cases}$. La norme du vecteur vitesse se calcule par $v(t) = \sqrt{v_x(t)^2 + v_y(t)^2}$.

Le vecteur vitesse possède trois caractéristiques importantes : sa direction (tangente à la trajectoire), son sens (celui du mouvement) et sa norme (la valeur de la vitesse). Graphiquement, $v_x(t)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe $x = f(t)$, et $v_y(t)$ à celui de la tangente à $y = f(t)$.

💡 Pour déterminer graphiquement la vitesse à un instant donné, tracez la tangente à la courbe de position en ce point et calculez son coefficient directeur !

Vecteur accélération

L'accélération caractérise la variation du vecteur vitesse, que ce soit en norme, direction ou sens. Mathématiquement, le vecteur accélération est défini comme la dérivée du vecteur vitesse : $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt}$.

Les coordonnées du vecteur accélération s'expriment par $\begin{cases} a_x = \frac{dv_x(t)}{dt} \ a_y = \frac{dv_y(t)}{dt} \end{cases}$, et sa norme se calcule par $a(t) = \sqrt{a_x(t)^2 + a_y(t)^2}$ (en m.s⁻²).

Graphiquement, $a_x(t)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe $v_x = f(t)$ et $a_y(t)$ à celui de la tangente à $v_y = f(t)$.

Pour construire le vecteur accélération sur une chronophotographie, il faut d'abord déterminer le vecteur variation de vitesse $\Delta \vec{v}i = \vec{v}{i+1} - \vec{v}_{i-1}$, puis calculer la norme de l'accélération par$a_i = \frac{\Delta v_i}{2 \Delta t}$. Le vecteur accélération$\vec{a}_i$a la même direction et le même sens que$\Delta \vec{v}_i$.

🔍 L'accélération est positive quand la vitesse augmente, mais attention : même un mouvement qui ralentit est considéré comme accéléré, car la vitesse varie !

Types de mouvements

Un mouvement rectiligne se caractérise par des vecteurs vitesse et accélération ayant la même direction (celle de la trajectoire). Il est uniforme si la norme de la vitesse est constante, ce qui implique une accélération nulle $\vec{a}(t) = \vec{0}$.

Dans un mouvement rectiligne uniformément accéléré, le vecteur accélération est constant mais non nul. Si les vecteurs accélération et vitesse sont de même sens, la vitesse augmente ; s'ils sont de sens contraires, elle diminue.

Un mouvement circulaire a une trajectoire en forme de cercle ou d'arc de cercle. Pour l'étudier, on utilise le repère de Frenet $(M, \vec{u_t}, \vec{u_n})$ qui est un repère local défini par :

• Une origine mobile (le point M étudié)
• Un vecteur unitaire $\vec{u_t}$ tangent à la trajectoire en M et orienté dans le sens du mouvement
• Un vecteur unitaire $\vec{u_n}$ perpendiculaire à $\vec{u_t}$ et pointant vers l'intérieur de la courbure

🧭 Le repère de Frenet est particulièrement utile pour étudier les mouvements circulaires car il s'adapte à chaque point de la trajectoire, contrairement à un repère fixe !

Mouvement circulaire et repère de Frenet

Dans le repère de Frenet, pour une trajectoire circulaire de rayon R, le vecteur vitesse est colinéaire à $\vec{u_t}$ : $\vec{v}(t) = v(t) \vec{u_t}$.

Le vecteur accélération possède deux composantes : l'une tangentielle selon $\vec{u_t}$ et l'autre normale selon $\vec{u_n}$ : $\vec{a}(t) = \frac{dv(t)}{dt} \vec{u_t} + \frac{v(t)^2}{R} \vec{u_n}$

Dans un mouvement circulaire uniforme, la norme de la vitesse reste constante $\frac{dv(t)}{dt} = 0$, mais le vecteur vitesse change constamment de direction. L'accélération a donc uniquement une composante normale : $\vec{a}(t) = \frac{v^2}{R} \vec{u_n}$

Dans ce cas particulier, les vecteurs vitesse et accélération sont orthogonaux. L'accélération est normale à la trajectoire et dirigée vers le centre du cercle (accélération centripète).

⚡ Un mouvement circulaire uniforme possède toujours une accélération non nulle, même si la vitesse ne varie pas en norme. C'est le changement de direction qui crée cette accélération !

Mouvement circulaire non uniforme et lois de Newton

Dans un mouvement circulaire non uniforme, l'accélération possède deux composantes dans le repère de Frenet : $\vec{a}(t) = \frac{dv(t)}{dt} \vec{u_t} + \frac{v(t)^2}{R} \vec{u_n}$

L'accélération normale $\frac{v(t)^2}{R}$ est toujours orientée vers l'intérieur de la courbure. L'accélération tangentielle $\frac{dv}{dt}$ est orientée vers l'avant de la trajectoire si la vitesse augmente, et vers l'arrière si elle diminue.

Le centre de masse (ou centre d'inertie) d'un système est le point où se situe la position moyenne de la masse d'un corps. Dans un champ de pesanteur uniforme, il est confondu avec le centre de gravité.

La deuxième loi de Newton s'exprime par : $\sum \vec{F}{ext} = m{système} \times \vec{a}G$où$\sum \vec{F}{ext}$représente la somme des forces extérieures en newtons,$m_{système}$la masse en kg, et$\vec{a}_G$ l'accélération du centre de masse en m.s⁻².

🎯 Application pratique : plus la masse d'un système est grande, plus il faudra une force importante pour lui communiquer une même accélération. C'est pourquoi les voitures de sport sont souvent légères !

Applications pratiques et calculs

Lorsqu'on demande les "composantes d'un vecteur", on cherche ses coordonnées. Par exemple, pour calculer les composantes du vecteur vitesse à partir des équations horaires $\begin{cases}x(t) = 11,0 \times t\y(t) = -1,1 \times t\end{cases}$, on dérive ces équations : \vec{v}\begin{cases}v_x(t) = 11,0\v_y(t) = -1,1\end{cases}

Pour calculer la valeur (norme) de la vitesse, on utilise : $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$, ce qui donne ici $v = \sqrt{11,0^2 + (-1,1)^2} = 11 \text{ m.s}^{-1}$ (soit 40 km.h⁻¹).

Pour vérifier la nature du mouvement, on analyse les caractéristiques du vecteur vitesse. Si ses composantes sont indépendantes du temps, alors $\vec{v}$ est constant en direction, sens et norme, ce qui caractérise un mouvement rectiligne uniforme.

Le vecteur accélération se déduit en dérivant le vecteur vitesse par rapport au temps. Si $\vec{v}$ est constant, alors $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{0}$.

💼 Astuce de calcul : pour passer de m.s⁻¹ à km.h⁻¹, multipliez par 3,6. Pour l'inverse, divisez par 3,6. C'est très utile pour les problèmes de mécanique !

Résolution de problèmes

Pour déterminer les coordonnées du vecteur vitesse à partir des équations horaires, on dérive ces équations par rapport au temps. Par exemple, si $x(t) = v_{ox} \times t$ et $y(t) = -\frac{a_y}{2} \times t^2 + v_{oy} \times t$, alors : $\vec{v}\begin{cases} v_x(t) = v_{ox} \ v_y(t) = -a_y \times t + v_{oy} \end{cases}$

Pour vérifier la valeur de la vitesse initiale, on calcule la norme du vecteur vitesse à l'instant t=0 : $v_0 = \sqrt{v_x(0)^2 + v_y(0)^2} = \sqrt{v_{ox}^2 + v_{oy}^2}$

Pour appliquer la deuxième loi de Newton, on écrit : "D'après la deuxième loi de Newton appliquée au système {objet}, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, $\sum \vec{F} = m \times \vec{a}$".

En exploitant cette loi, on peut déterminer les caractéristiques du vecteur accélération. Par exemple, pour une voiture soumise à son poids $\vec{P}$, la réaction du sol $\vec{R}$ et une force de frottement $\vec{f}$ : $\sum \vec{F} = \vec{P} + \vec{R} + \vec{f} = m \times \vec{a}$

🛠️ Pour résoudre efficacement ce type de problème, commencez toujours par identifier toutes les forces qui s'exercent sur le système avant d'appliquer la deuxième loi de Newton.

Analyse du mouvement dans le repère de Frenet

Le repère de Frenet lié à un point M est défini par :

• Une origine mobile (le point M)
• Un vecteur unitaire $\vec{u_t}$ tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement
• Un vecteur unitaire $\vec{u_n}$ perpendiculaire à la trajectoire et orienté vers le centre de courbure

Dans ce repère, les composantes de l'accélération s'expriment par : $\vec{a} = \frac{dv}{dt} \vec{u_t} + \frac{v^2}{R} \vec{u_n}$

Pour déterminer si un mouvement est uniforme, on examine si le vecteur vitesse est constant en norme, donc si $\frac{dv}{dt} = 0$. Dans ce cas, l'accélération n'a qu'une composante normale (composante tangentielle nulle).

Un mouvement circulaire uniforme se caractérise par une accélération purement centripète, perpendiculaire à la trajectoire et dirigée vers le centre du cercle.

🔄 Dans un mouvement circulaire, même si la vitesse est constante en norme, l'accélération n'est jamais nulle car la direction du vecteur vitesse change continuellement !