Propriétés de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle de base e est une fonction fondamentale dont la valeur en 0 est e^0 = 1. Cette fonction possède des limites caractéristiques qui la définissent clairement.
Lorsque x tend vers moins l'infini, e^x tend vers 0, tandis que lorsque x tend vers plus l'infini, e^x tend vers l'infini positif. Pour une constante k positive, e^kx tend vers 0 quand x tend vers moins l'infini, et vers l'infini positif quand x tend vers plus l'infini.
À l'inverse, quand k est négative, e^kx tend vers l'infini positif quand x tend vers moins l'infini, et vers 0 quand x tend vers plus l'infini. Le tableau de variation montre que cette fonction est strictement croissante sur ℝ, partant de 0 (à moins l'infini) jusqu'à plus l'infini.
💡 Astuce pratique : Mémorisez la "règle du signe" pour les exponentielles : avec un exposant positif (kx où k>0), la fonction "suit" l'axe des x tendvers+∞quandx→+∞ ; avec un exposant négatif, elle "fait l'inverse" de x.
En termes de croissances comparées, la fonction exponentielle croît plus rapidement que n'importe quelle puissance : limx→+∞ e^x/x^n = +∞. Par ailleurs, lorsque x tend vers moins l'infini, le produit xe^x tend vers 0 par valeurs négatives, illustrant la "force" de la décroissance exponentielle.