La convexité des fonctions

Tu peux facilement reconnaître si une fonction est convexe ou concave en regardant sa courbe par rapport à ses tangentes. Une fonction convexe a sa courbe qui reste au-dessus de toutes ses tangentes (forme un "U"), tandis qu'une fonction concave a sa courbe en dessous (forme un "∩").

Les fonctions classiques ont des propriétés de convexité que tu dois connaître par cœur. La fonction f$x$ = x² est convexe sur tout ℝ, alors que f$x$ = √x est concave sur [0;+∞[. Pour f$x$ = x³ et f$x$ = 1/x, c'est plus subtil : elles changent de convexité selon les intervalles.

Astuce pratique : une fonction g est convexe quand sa dérivée g' est croissante, ce qui correspond à g''$x$ > 0. Elle est concave quand g' est décroissante, donc g''$x$ < 0.

Prenons l'exemple de g$x$ = 1/3x³ - 9x² + 4. On calcule g'$x$ = x² - 18x et g''$x$ = 2x - 18. Comme g''$x$ = 0 pour x = 9, on trouve que g est concave sur ]-∞; 9] et convexe sur [9; +∞[. Le point d'inflexion se situe en x = 9, là où la fonction change de convexité.

💡 Rappel important : Le point d'inflexion marque exactement le changement entre concave et convexe !