Arithmétique niveau 3 ème

Légende alternative :

2 divise 24 donc 12 divise également 24 car 2 x 12 = 24. En poursuivant ainsi, on trouve la liste des diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Partie 2: Nombres premiers 1) Définition Définition: Un nombre est premier s'il possède exactement deux diviseurs qui sont 1 et lui-même. Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 1 Exemples: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... Cette liste est infinie. Remarque : Le nombre 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur. ► Vidéo https://youtu.be/N1gY8G_Y5k4 Méthode: Déterminer si un nombre est premier ou non ► Vidéo https://www.youtube.com/watch?v=g9PLLhnCv88 6 et 11 sont-ils des nombres premiers ? Divertissement : Le nombre 73939133 est un nombre premier. Si on retire à chaque fois son dernier chiffre, il reste premier. Ainsi, 73939133 7393913 739391 73939 7393 739 73 7 sont tous premiers. Correction : • 6 peut s'écrire 2 x 3 et a donc 2 et 3 comme diviseurs en plus de 1 et 6. 6 a donc plus que deux diviseurs et n'est alors pas premiers. • 11 n'a pas d'autres diviseurs que 1 et 11 donc il est premier. 2) Décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers Exemples: - 20 = 2 × 2 × 5 est une décomposition du nombre 20 en produit de facteurs premiers. En effet, chaque facteur de la décomposition est un nombre premier. - 231 = 3 x 7 x 11 - 225 = 3 x 3 x 5 x 5 Méthode : Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers Vidéo https://youtu.be/RBE2wPIKagl ►Vidéo https://youtu.be/QORWa45dQig Décomposer 300 en produit de facteurs premiers. Propriété : Tout nombre non premier peut se décomposer en produit de facteurs premiers. L'ordre des facteurs n'a pas d'importance. Correction : Pour le faire, il est important de bien connaître le début de la liste des nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... On commence par tester si 300 est divisible par 2 (1er nombre premier). La réponse est « oui » car 300 se termine par un chiffre pair. Et on a : 300 : 2 = 150 2 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 300 2 150 On recommence, en testant si 150 est divisible par 2. La réponse est « oui » et 150 : 2 = 75 On recommence, en testant si 75 est divisible par 2. La réponse est << non >> ! On teste alors le nombre premier suivant dans la liste. Est-ce que 75 est divisible par 3. La réponse est « oui » car 7+5=12 est divisible par 3. Et on a : 75:3= 25 On recommence, en testant si 25 est divisible par 3. La réponse est << non >> ! On teste alors le nombre premier suivant dans la liste. Est-ce que 25 est divisible par 5. La réponse est « oui » et on a 25 : 5 = 5. On recommence, en testant si 5 est divisible par 5. La réponse est << oui » et on a 5 : 5 = 1. C'est fini, on trouve 1 ! Partie 3: Application aux fractions Définition: On dit qu'une fraction est irréductible, lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont pas de diviseur commun autre que 1. Exemples: 4 est une fraction irréductible car les diviseurs de 4 sont 1, 2 et 4 et les diviseurs de 9 sont 1, 3 et 9. Le seul diviseur commun de 4 et de 9 est 1. 2 n'est pas une fraction irréductible car les diviseurs de 2 sont 1 et 2 8 et les diviseurs de 8 sont 1, 2, 4 et 8. 2 et 8 ont deux diviseurs communs 1 et 2. La décomposition en produit de facteurs premiers de 300 se lit dans la colonne de droite. 300 = 2 x 2 X3 X5 X5 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 300 150 2 75 22 2 300 150 2 75 3 25 300 2 150 2 75 3 25 5 5 300 | 2 150 2 75 3 25 5 5 5 1 3 Méthode: Rendre une fraction irréductible ►Vidéo https://youtu.be/qZaTliAWKAO Rendre irréductible la fraction Correction : Pour rendre une fraction irréductible, il faut décomposer son numérateur et son dénominateur en produit de facteurs premiers. 60 2 30 2 3 5 5 1 15 10 21 On a : 126 2 63 3 On ainsi les décompositions de 60 et 126: 60 = 2 × 2 × 3 × 5 et 126 = 2 × 3 × 3 × 7 60 126 21 3 7 7 1 60 2×2×3×5 2X5 10 126 2×3×3×7 3x7 21 10 et 21 n'ont pas de diviseur commun. = est la fraction irréductible égale à 60 126 Copyright Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 4