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29 nov. 2025

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Cours Chapitre 5 : Dérivation et Étude de la Convexité

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Noé

@nono_lxmo

La dérivation et la convexité sont des outils super puissants... Affiche plus

дом EXEMPLE: u 0 COMPOSITION 4 VII- derivation et convenité : f L' 2" x+ 2x-3 et vx vou x v(u (x)) = v(u(x)) = √2x-3 • (v°u)'(x) = v' (U(x))

Dérivation et convexité

Tu veux maîtriser les fonctions composées ? C'est parti ! La composition de fonctions s'écrit v∘uv \circ u et se lit "v rond u". Concrètement, ça donne x↦v(u(x))x \mapsto v(u(x)) - tu appliques d'abord uu, puis vv sur le résultat.

Prenons un exemple concret : si u(x)=2x−3u(x) = 2x - 3 et v(x)=xv(x) = \sqrt{x}, alors v∘u=2x−3v \circ u = \sqrt{2x - 3}. Super logique, non ?

Pour dériver une fonction composée, retiens cette formule magique : (v∘u)′(x)=v′(u(x))×u′(x)(v \circ u)'(x) = v'(u(x)) \times u'(x). Attention, ce n'est pas un produit classique ! Tu dérive la fonction extérieure en gardant l'intérieure, puis tu multiplies par la dérivée de l'intérieure.

La convexité te donne des infos précieuses sur la forme de tes courbes. Une fonction convexe "sourit" comme $x^2$, une fonction concave "boude" comme $\sqrt{x}$. Le point d'inflexion marque le changement entre convexe et concave - c'est là où f′′f'' change de signe.

Astuce pratique : Si f′′>0f'' > 0, la fonction est convexe. Si f′′<0f'' < 0, elle est concave !

дом EXEMPLE: u 0 COMPOSITION 4 VII- derivation et convenité : f L' 2" x+ 2x-3 et vx vou x v(u (x)) = v(u(x)) = √2x-3 • (v°u)'(x) = v' (U(x))

Tableau des dérivées usuelles

Voici ton kit de survie pour les dérivées ! Ce tableau regroupe toutes les formules de dérivation que tu dois connaître par cœur pour tes exos.

Les fonctions trigonométriques ont leurs petites règles : cos⁡(u)\cos(u) devient −sin⁡(u)×u′-\sin(u) \times u', et sin⁡(u)\sin(u) devient cos⁡(u)×u′\cos(u) \times u'. N'oublie jamais le signe moins pour le cosinus !

Pour les fonctions exponentielles et logarithmiques : eue^u reste eu×u′e^u \times u' (pratique !), tandis que ln⁡(u)\ln(u) donne 1u×u′\frac{1}{u} \times u'. La fonction 1u\frac{1}{u} devient −1u2×u′-\frac{1}{u^2} \times u' - attention au signe moins.

Les puissances suivent la règle classique : unu^n donne n×un−1×u′n \times u^{n-1} \times u'. Donc u2u^2 devient 2u×u′2u \times u' et u3u^3 devient 3u2×u′3u^2 \times u'.

Mémo important : N'oublie jamais de multiplier par u′u' quand tu dérive une fonction composée !



Si on te demande...

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

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La dérivation et la convexité sont des outils super puissants pour analyser le comportement des fonctions ! Tu vas découvrir comment composer des fonctions et comprendre leurs propriétés géométriques.

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Tu veux maîtriser les fonctions composées ? C'est parti ! La composition de fonctions s'écrit v∘uv \circ u et se lit "v rond u". Concrètement, ça donne x↦v(u(x))x \mapsto v(u(x)) - tu appliques d'abord uu, puis vv sur le résultat.

Prenons un exemple concret : si u(x)=2x−3u(x) = 2x - 3 et v(x)=xv(x) = \sqrt{x}, alors v∘u=2x−3v \circ u = \sqrt{2x - 3}. Super logique, non ?

Pour dériver une fonction composée, retiens cette formule magique : (v∘u)′(x)=v′(u(x))×u′(x)(v \circ u)'(x) = v'(u(x)) \times u'(x). Attention, ce n'est pas un produit classique ! Tu dérive la fonction extérieure en gardant l'intérieure, puis tu multiplies par la dérivée de l'intérieure.

La convexité te donne des infos précieuses sur la forme de tes courbes. Une fonction convexe "sourit" comme $x^2$, une fonction concave "boude" comme $\sqrt{x}$. Le point d'inflexion marque le changement entre convexe et concave - c'est là où f′′f'' change de signe.

Astuce pratique : Si f′′>0f'' > 0, la fonction est convexe. Si f′′<0f'' < 0, elle est concave !

дом EXEMPLE: u 0 COMPOSITION 4 VII- derivation et convenité : f L' 2" x+ 2x-3 et vx vou x v(u (x)) = v(u(x)) = √2x-3 • (v°u)'(x) = v' (U(x))

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Tableau des dérivées usuelles

Voici ton kit de survie pour les dérivées ! Ce tableau regroupe toutes les formules de dérivation que tu dois connaître par cœur pour tes exos.

Les fonctions trigonométriques ont leurs petites règles : cos⁡(u)\cos(u) devient −sin⁡(u)×u′-\sin(u) \times u', et sin⁡(u)\sin(u) devient cos⁡(u)×u′\cos(u) \times u'. N'oublie jamais le signe moins pour le cosinus !

Pour les fonctions exponentielles et logarithmiques : eue^u reste eu×u′e^u \times u' (pratique !), tandis que ln⁡(u)\ln(u) donne 1u×u′\frac{1}{u} \times u'. La fonction 1u\frac{1}{u} devient −1u2×u′-\frac{1}{u^2} \times u' - attention au signe moins.

Les puissances suivent la règle classique : unu^n donne n×un−1×u′n \times u^{n-1} \times u'. Donc u2u^2 devient 2u×u′2u \times u' et u3u^3 devient 3u2×u′3u^2 \times u'.

Mémo important : N'oublie jamais de multiplier par u′u' quand tu dérive une fonction composée !

Si on te demande...

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Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

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Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

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Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

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