Inégalité des Tangentes et Fonctions Usuelles
Voici une méthode encore plus pratique pour identifier la convexité ! Si f′′(x)>0, alors la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes et donc convexe. Cette règle avec la dérivée seconde est ton meilleur ami pour les exercices.
L'inégalité des tangentes s'écrit : f(x)>f′(xc)(x−xc)+f(xc) quand la fonction est convexe. En gros, la courbe "sourit" vers le haut par rapport à ses tangentes.
Tu dois absolument connaître ces fonctions usuelles : l'exponentielle est convexe sur R, la fonction inverse est convexe sur $\mathbb{R}^{+},etlaracinecarreˊeestconcavesur\mathbb{R}^{+}$.
💡 À retenir : f′′>0 = convexe, f′′<0 = concave. C'est le moyen le plus rapide !