Techniques avancées de factorisation et équations spéciales

La deuxième propriété concerne la factorisation dans le cas où il n'y a pas de facteur commun évident. On peut utiliser la technique de la différence de carrés.

Example: a² - 9 peut être factorisé en (a + 3)(a - 3), car c'est une différence de carrés.

La troisième propriété traite des équations de type y² = b. La résolution dépend de la valeur de b :

• Si b > 0, l'équation admet deux solutions : √b et -√b
• Si b = 0, l'équation admet une seule solution : 0
• Si b < 0, l'équation n'admet pas de solution réelle

Definition: Une différence de carrés est une expression algébrique de la forme a² - b², qui peut toujours être factorisée en (a + b)(a - b).

Highlight: La maîtrise de ces techniques est essentielle pour résoudre une équation produit nul efficacement, en particulier pour les équations produit nul avec x au carré.

Ces concepts sont particulièrement importants pour les élèves de 3ème, car ils constituent la base de nombreux exercices d'équation produit nul plus avancés.

Propriété fondamentale des équations produit nul

La première propriété des équations produit nul établit qu'un produit est nul si au moins l'un de ses facteurs est nul. Cette propriété est fondamentale pour résoudre des équations complexes.

Exemple: Pour résoudre l'équation (3a + 2)(-5a + 7) = 0, on considère séparément chaque facteur : 3a + 2 = 0 ou -5a + 7 = 0, ce qui donne a = -2/3 ou a = 7/5.

La factorisation est souvent nécessaire pour appliquer cette méthode. Par exemple, pour résoudre 4y² + 7y = 0, on factorise d'abord en y(4y + 7) = 0, puis on résout y = 0 ou 4y + 7 = 0.

Highlight: La factorisation est une étape cruciale dans la résolution des équations produit nul.

Vocabulary: Factorisation - processus de décomposition d'une expression algébrique en produit de facteurs plus simples.