Exercices sur la notion de fonctions

Définition et calculs d'images

Pour comprendre les fonctions, commençons par quelques exercices de base:

Une fonction associe à chaque nombre d'entrée un unique nombre de sortie:

• La fonction g: x ↦ √x associe à chaque nombre x sa racine carrée
• Par exemple: g$16$ = √16 = 4 et g$144$ = √144 = 12

Concept clé : Une fonction f fait correspondre à chaque nombre x $appelé antécédent$ une valeur unique f$x$ $appelée image$.

Vocabulaire des fonctions

En mathématiques, on utilise un vocabulaire précis:

• Si f$5$ = 2, on dit que "l'image de 5 par f est 2"
• Si f$7$ = 3, on dit que "3 est l'image de 7 par f"
• Si f$13$ = 9, on dit que "13 est l'antécédent de 9 par f"
• Si f$2$ = -6, on dit que "-6 a pour antécédent 2 par f"

Notations mathématiques

On peut traduire les notations mathématiques en phrases:

• f: 3 ↦ -4 signifie "3 a pour image -4 par la fonction f" ou f$3$ = -4
• g: -7 ↦ 3 signifie "-7 a pour image 3 par la fonction g" ou g$-7$ = 3
• h: x ↦ -3x³ signifie "x a pour image -3x³ par la fonction h" ou h$x$ = -3x³

Calcul d'images

Pour calculer l'image d'un nombre par une fonction:

1. Remplacez la variable par le nombre donné
2. Effectuez les opérations dans l'ordre

Par exemple, pour j$x$ = 4x² - 2x + 5:

• j$2$ = 4×2² - 2×2 + 5 = 4×4 - 4 + 5 = 16 - 4 + 5 = 17
• j$-6$ = 4×$-6$² - 2×$-6$ + 5 = 4×36 + 12 + 5 = 144 + 12 + 5 = 161
• j$0$ = 4×0² - 2×0 + 5 = 0 + 0 + 5 = 5

Lecture graphique des fonctions

Interprétation des graphiques

Sur un graphique représentant une fonction:

• Pour trouver l'image d'un nombre x, on se place à la valeur x sur l'axe horizontal et on lit la hauteur correspondante
• Pour trouver les antécédents d'un nombre y, on se place à la valeur y sur l'axe vertical et on trouve tous les x correspondants

Astuce : Sur le graphique, une image se lit verticalement $de bas en haut$ et un antécédent se lit horizontalement $de droite à gauche$.

Exemple avec deux fonctions

Quand deux fonctions f et g sont représentées sur le même graphique:

• L'image de 1 par f est 2
• L'image de 2 par g est -1
• L'image de -1 par f est 0,5
• L'image de 0 par g est 0
• L'image de 1 par g est -0,5
• L'image de -3 par g est -1 et par f est 1,5

Lecture des valeurs sur un graphique

Sur le graphique de la fonction g:

• Les images: g$0$ = 1, g$2$ ≈ 1,7, g$5$ = 0
• Les antécédents de 1 sont 0, 4 et 6
• Les antécédents de -1 sont tous les nombres entre -3 et -1
• Le nombre 3 n'a pas d'antécédent $aucune valeur de x ne donne g(x$ = 3)

Remarque importante : Un nombre peut avoir plusieurs antécédents, un seul, ou aucun. Cela dépend de la fonction étudiée.

Analyse graphique des fonctions

Lecture graphique des images et antécédents

Sur le graphique d'une fonction h:

• Pour trouver l'image d'un nombre, on repère ce nombre sur l'axe des x et on lit la valeur correspondante sur l'axe des y
• Pour trouver les antécédents d'un nombre, on repère ce nombre sur l'axe des y et on lit toutes les valeurs correspondantes sur l'axe des x

Par exemple:

• L'image de 8 par h est 2
• h$-1$ = 4
• Les antécédents de 0 sont 3 et 7
• Les antécédents de -2 sont 4 et 6

Concept clé : Un même nombre peut avoir plusieurs antécédents. Par exemple, le nombre 2 a pour antécédents -2, 0, 2 et 8.

Tableaux de valeurs

Un tableau de valeurs permet de présenter les correspondances entre antécédents et images:

Pour la fonction f$x$ = 2x:

• L'image de 2 est f$2$ = 4
• L'antécédent de 2 est 1
• Si x = 20, alors f$20$ = 40
• Si f$x$ = 20, alors x = 10

Pour la fonction g$x$ = 3x:

• L'image de 3 est g$3$ = 9
• L'antécédent de 12 est 4
• Si x = 5, alors g$5$ = 15
• Si g$x$ = 9, alors x = 3

Méthode : Pour trouver un antécédent, on résout l'équation f$x$ = y où y est l'image donnée. Par exemple, pour trouver l'antécédent de 12 par g, on résout 3x = 12, donc x = 4.

Calcul d'images et résolution d'équations

Calcul détaillé d'images

Pour calculer l'image d'un nombre par une fonction, on remplace la variable par ce nombre et on effectue les calculs:

Pour la fonction j$x$ = 4x² - 2x + 5:

• j$2$ = 4×2² - 2×2 + 5 = 4×4 - 4 + 5 = 16 - 4 + 5 = 17
• j$7$ = 4×7² - 2×7 + 5 = 4×49 - 14 + 5 = 196 - 14 + 5 = 187
• j$-6$ = 4×$-6$² - 2×$-6$ + 5 = 4×36 + 12 + 5 = 144 + 12 + 5 = 161
• j$0$ = 4×0² - 2×0 + 5 = 0 + 0 + 5 = 5
• j$3/2$ = 4×$3/2$² - 2×$3/2$ + 5 = 4×9/4 - 3 + 5 = 9 - 3 + 5 = 11

Attention : Respectez bien l'ordre des opérations lors du calcul $puissances, multiplications/divisions, puis additions/soustractions$.

Interprétation des résultats

Après avoir calculé une image, on peut formuler le résultat sous forme d'une phrase:

• L'image de 2 par la fonction j est 17
• L'image de 7 par la fonction j est 187
• L'image de -6 par la fonction j est 161
• L'image de 0 par la fonction j est 5
• L'image de 3/2 par la fonction j est 11

Cette formulation montre que vous comprenez bien la notion d'image d'un nombre par une fonction.

Rappel : L'image d'un nombre x par une fonction f est notée f$x$. C'est la valeur obtenue quand on "injecte" x dans la fonction.

Fonctions et antécédents

Calcul d'images pour une fonction du second degré

Pour la fonction g$x$ = x² - 1, calculons plusieurs images:

• g$-4$ = $-4$² - 1 = 16 - 1 = 15
• g$-2$ = $-2$² - 1 = 4 - 1 = 3
• g$-√7$ = $-√7$² - 1 = 7 - 1 = 6
• g$1$ = 1² - 1 = 1 - 1 = 0
• g$4$ = 4² - 1 = 16 - 1 = 15
• g$2$ = 2² - 1 = 4 - 1 = 3
• g$√7$ = $√7$² - 1 = 7 - 1 = 6
• g$6$ = 6² - 1 = 36 - 1 = 35

Propriété importante : Dans une fonction du type f$x$ = x², les nombres opposés $comme 4 et -4 ou √7 et -√7$ ont la même image.

Recherche d'antécédents

En analysant les calculs précédents, on peut déduire que:

• 15 a pour antécédents -4 et 4
• 3 a pour antécédents -2 et 2
• 6 a pour antécédents -√7 et √7

Vérification d'une définition de fonction

Une fonction h est telle que 7 a deux antécédents: 1 et -1.

Pour vérifier si h pourrait être définie par h$x$ = x² - 6:

• Méthode 1: Résoudre x² - 6 = 7, ce qui donne x² = 13, donc x = ±√13
• Méthode 2: Calculer h$1$ = 1² - 6 = -5 et h$-1$ = $-1$² - 6 = -5 Conclusion: h ne peut pas être définie par x² - 6 car l'image de 1 et -1 serait -5 et non 7.

Pour vérifier si h pourrait être définie par g$x$ = 7x:

• g$1$ = 7×1 = 7 et g$-1$ = 7×$-1$ = -7 Conclusion: h ne peut pas être définie par 7x car l'image de -1 serait -7 et non 7.

Méthode de vérification : Pour vérifier si une définition de fonction convient, on peut soit calculer les images des antécédents donnés, soit résoudre l'équation f$x$ = y pour trouver les antécédents de y.

Domaine de définition et représentation graphique

Domaine de définition d'une fonction

Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie.

Pour la fonction h$x$ = $2x-3$/$x-5$:

• Cette fonction est définie si le dénominateur est non nul
• Donc il faut que x-5 ≠ 0, ce qui équivaut à x ≠ 5
• Conclusion: 5 est le seul nombre qui n'a pas d'image par la fonction h

Concept fondamental : Une fonction rationnelle $avec une fraction$ n'est pas définie lorsque son dénominateur est égal à zéro.

Lecture graphique des fonctions

Sur un graphique représentant deux fonctions f et g:

• L'image de 1 par f est 2
• L'image de 2 par g est -1
• f$-1$ = 0,5
• g$0$ = 0
• g$1$ = -0,5
• g$-3$ = -1 et f$-3$ = 1,5

Analyse complète d'un graphique

Pour la fonction g représentée graphiquement:

• Les images: g$0$ = 1, g$2$ ≈ 1,7, g$5$ = 0
• Les antécédents de 1 sont 0, 4 et 6
• Les antécédents de -1 sont tous les nombres entre -3 et -1
• Le nombre 3 n'a pas d'antécédent

Astuce de lecture graphique : Pour trouver l'image d'un nombre x, tracez une ligne verticale à partir de x et lisez la coordonnée y du point d'intersection avec la courbe. Pour trouver les antécédents d'un nombre y, tracez une ligne horizontale à partir de y et lisez les coordonnées x des points d'intersection avec la courbe.

Analyse graphique et tableaux de valeurs

Lecture et interprétation des graphiques

Pour un graphique définissant une fonction f:

• On lit directement: f$0,5$ = 0, f$-2$ = 1, f$0$ = 4
• On peut identifier des nombres avec différents nombres d'antécédents: Le nombre 5 n'a aucun antécédent Le nombre -1 a un seul antécédent Le nombre 2 a trois antécédents Le nombre 0 a deux antécédents Le nombre 4 a plus de trois antécédents

Remarque importante : Un graphique permet de visualiser rapidement combien d'antécédents possède chaque nombre, ce qui donne des informations sur le comportement de la fonction.

Lecture complète d'un graphique

Pour la fonction h représentée graphiquement:

• L'image de 8 est 2
• h$-1$ = 4
• Les antécédents de 0 sont 3 et 7
• L'image de -3 est 3/2
• Les antécédents de -2 sont 4 et 6
• Les antécédents de 2 sont -2, 0, 2 et 8

Tableaux de valeurs et relations linéaires

Pour des fonctions linéaires comme f$x$ = 2x et g$x$ = 3x:

Fonction f$x$ = 2x:

• L'image de 2 est 4
• L'antécédent de 2 est 1
• f$20$ = 40
• L'antécédent de 20 est 10

Fonction g$x$ = 3x:

• L'image de 3 est 9
• L'antécédent de 12 est 4
• g$5$ = 15
• L'antécédent de 9 est 3

Propriété des fonctions linéaires : Dans une fonction de type f$x$ = ax, pour trouver l'antécédent d'un nombre y, on calcule x = y/a.