Fonctions et antécédents
Calcul d'images pour une fonction du second degré
Pour la fonction g(x) = x² - 1, calculons plusieurs images:
- g(-4) = (-4)² - 1 = 16 - 1 = 15
- g(-2) = (-2)² - 1 = 4 - 1 = 3
- g(-√7) = (-√7)² - 1 = 7 - 1 = 6
- g(1) = 1² - 1 = 1 - 1 = 0
- g(4) = 4² - 1 = 16 - 1 = 15
- g(2) = 2² - 1 = 4 - 1 = 3
- g(√7) = (√7)² - 1 = 7 - 1 = 6
- g(6) = 6² - 1 = 36 - 1 = 35
Propriété importante : Dans une fonction du type f(x) = x², les nombres opposés (comme 4 et -4 ou √7 et -√7) ont la même image.
Recherche d'antécédents
En analysant les calculs précédents, on peut déduire que:
- 15 a pour antécédents -4 et 4
- 3 a pour antécédents -2 et 2
- 6 a pour antécédents -√7 et √7
Vérification d'une définition de fonction
Une fonction h est telle que 7 a deux antécédents: 1 et -1.
Pour vérifier si h pourrait être définie par h(x) = x² - 6:
- Méthode 1: Résoudre x² - 6 = 7, ce qui donne x² = 13, donc x = ±√13
- Méthode 2: Calculer h(1) = 1² - 6 = -5 et h(-1) = (-1)² - 6 = -5
Conclusion: h ne peut pas être définie par x² - 6 car l'image de 1 et -1 serait -5 et non 7.
Pour vérifier si h pourrait être définie par g(x) = 7x:
- g(1) = 7×1 = 7 et g(-1) = 7×(-1) = -7
Conclusion: h ne peut pas être définie par 7x car l'image de -1 serait -7 et non 7.
Méthode de vérification : Pour vérifier si une définition de fonction convient, on peut soit calculer les images des antécédents donnés, soit résoudre l'équation f(x) = y pour trouver les antécédents de y.