Fonctions et antécédents
Calcul d'images pour une fonction du second degré
Pour la fonction gx = x² - 1, calculons plusieurs images:
- g−4 = −4² - 1 = 16 - 1 = 15
- g−2 = −2² - 1 = 4 - 1 = 3
- g−√7 = −√7² - 1 = 7 - 1 = 6
- g1 = 1² - 1 = 1 - 1 = 0
- g4 = 4² - 1 = 16 - 1 = 15
- g2 = 2² - 1 = 4 - 1 = 3
- g√7 = √7² - 1 = 7 - 1 = 6
- g6 = 6² - 1 = 36 - 1 = 35
Propriété importante : Dans une fonction du type fx = x², les nombres opposés comme4et−4ou√7et−√7 ont la même image.
Recherche d'antécédents
En analysant les calculs précédents, on peut déduire que:
- 15 a pour antécédents -4 et 4
- 3 a pour antécédents -2 et 2
- 6 a pour antécédents -√7 et √7
Vérification d'une définition de fonction
Une fonction h est telle que 7 a deux antécédents: 1 et -1.
Pour vérifier si h pourrait être définie par hx = x² - 6:
- Méthode 1: Résoudre x² - 6 = 7, ce qui donne x² = 13, donc x = ±√13
- Méthode 2: Calculer h1 = 1² - 6 = -5 et h−1 = −1² - 6 = -5
Conclusion: h ne peut pas être définie par x² - 6 car l'image de 1 et -1 serait -5 et non 7.
Pour vérifier si h pourrait être définie par gx = 7x:
- g1 = 7×1 = 7 et g−1 = 7×−1 = -7
Conclusion: h ne peut pas être définie par 7x car l'image de -1 serait -7 et non 7.
Méthode de vérification : Pour vérifier si une définition de fonction convient, on peut soit calculer les images des antécédents donnés, soit résoudre l'équation fx = y pour trouver les antécédents de y.