Généralités et résolution graphique

Une fonction f associe à chaque élément x de son domaine de définition D une image unique f$x$. Ce domaine est généralement un intervalle ou une réunion d'intervalles.

Dans un repère, la courbe représentative d'une fonction f (notée Cₑ) est l'ensemble des points de coordonnées (x; y) tels que x appartient au domaine D et y = f$x$. Un point M(x;y) appartient à la courbe si et seulement si x est dans le domaine et y = f$x$.

Pour résoudre graphiquement une équation du type f$x$ = k, on cherche les abscisses des points d'intersection entre la courbe de f et la droite horizontale d'équation y = k. De même, pour f$x$ = g$x$, on cherche les abscisses des points d'intersection entre les courbes de f et g.

💡 Astuce pratique : Pour résoudre une inéquation comme f$x$ ≥ k, repérez simplement les portions de la courbe situées au-dessus de la droite y = k, puis lisez les intervalles correspondants sur l'axe des x.

Pour les inéquations comme f$x$ ≥ g$x$, les solutions sont les abscisses des points où la courbe de f est située au-dessus de celle de g.

Les fonctions de référence

Les fonctions affines sont définies par f$x$ = ax + b sur ℝ. Leur représentation graphique est toujours une droite.

Deux cas particuliers importants :

• Lorsque b = 0, on obtient une fonction linéaire f$x$ = ax
• Lorsque a = 0, on obtient une fonction constante f$x$ = b

Pour déterminer la valeur de a dans une fonction affine, on utilise la formule a = (yₐ - yₐ)/(xₐ - xₐ) avec deux points distincts de la droite. Les fonctions affines ne sont ni paires ni impaires.

Le tableau de signes d'une fonction affine dépend du signe de a :

• Si a < 0, la fonction est décroissante et s'annule pour x = -b/a
• Si a > 0, la fonction est croissante et s'annule également pour x = -b/a

🔑 Rappel important : Pour tracer rapidement une fonction affine, il suffit de déterminer deux points de la droite, par exemple le point d'ordonnée à l'origine (0;b) et un autre point facile à calculer.

Les fonctions de référence (suite)

La fonction carrée est définie sur ℝ par f$x$ = x². Sa représentation graphique est une parabole qui passe par l'origine. C'est une fonction paire, ce qui signifie que sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

La fonction inverse est définie sur ℝ* par g$x$ = 1/x = x⁻¹. Sa représentation graphique est une hyperbole qui ne coupe jamais l'axe des abscisses. La courbe présente une symétrie centrale par rapport à l'origine. C'est également une fonction paire.

La fonction cube est définie sur ℝ par f$x$ = x³. Sa représentation graphique présente une symétrie centrale par rapport à l'origine. C'est une fonction impaire, ce qui explique cette symétrie.

📝 Note : Les fonctions paires et impaires ont des propriétés de symétrie qui facilitent leur tracé. Une fois que tu as tracé la partie pour x > 0, tu peux utiliser la symétrie pour compléter le graphique !

Fonction racine carrée et parité

La fonction racine carrée est définie sur ℝ⁺ par f$x$ = √x. Sa représentation graphique est entièrement située au-dessus de l'axe des abscisses.

Une fonction f est paire si pour tout x du domaine, -x appartient aussi au domaine et f$-x$ = f$x$. Graphiquement, cela signifie que la courbe admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.

Une fonction f est impaire si pour tout x du domaine, -x appartient aussi au domaine et f$-x$ = -f$x$. Graphiquement, cela signifie que la courbe admet l'origine O du repère comme centre de symétrie.

Il est important de noter qu'une fonction peut n'être ni paire ni impaire. C'est le cas de la fonction racine carrée puisqu'elle est définie uniquement sur ℝ⁺ et ne peut donc pas vérifier les conditions de parité qui nécessitent que x et -x appartiennent au domaine.

🔍 Bon à savoir : Identifier la parité d'une fonction peut te faire gagner du temps lors du tracé de sa courbe et faciliter l'étude de ses propriétés. Pense à vérifier systématiquement cette caractéristique !