Les transformations du plan : Isométries et leurs propriétés

Ce chapitre introduit le concept d'isométrie et présente les quatre principales transformations du plan. Une isométrie est définie comme une transformation qui conserve les mesures dans le plan.

Vocabulary: Isométrie - du grec "iso" (même) et "metros" (mesure), désignant une transformation qui préserve les distances.

Les quatre isométries abordées sont :

1. La symétrie orthogonale
2. La symétrie centrale
3. La translation
4. La rotation

Highlight: Chaque transformation possède des propriétés uniques qui la distinguent des autres, tout en conservant les distances et les angles.

La symétrie orthogonale est illustrée avec un axe de symétrie (x) et deux points (A et B) avec leurs images respectives (A' et B').

Definition: La symétrie orthogonale est une transformation qui reflète chaque point du plan par rapport à une droite appelée axe de symétrie.

Example: Dans la figure, A' est l'image du point A par la symétrie orthogonale d'axe x, et B' est l'image du point B.

Une propriété importante de la symétrie orthogonale est soulignée :

Highlight: Tout point situé sur l'axe de symétrie est sa propre image dans une symétrie orthogonale.

La symétrie centrale est présentée avec un centre de symétrie (O) et deux points (A et B) avec leurs images (A' et B').

Definition: La symétrie centrale est une transformation qui fait correspondre à chaque point son symétrique par rapport à un point fixe appelé centre de symétrie.

Une caractéristique essentielle de la symétrie centrale est mise en évidence :

Highlight: Une symétrie centrale n'admet qu'un seul point fixe : son centre.

Les transformations du plan : Translation et Rotation

Ce chapitre poursuit l'étude des transformations du plan en se concentrant sur la translation et la rotation, deux isométries essentielles en géométrie.

La translation est expliquée à l'aide d'un vecteur défini par deux points X et Y, et illustrée avec deux points A et B et leurs images A' et B'.

Definition: Une translation est une transformation qui déplace tous les points du plan dans la même direction, le même sens et de la même distance.

Example: A' est l'image du point A par la translation qui applique X sur Y, et B' est l'image du point B par la même translation.

Une propriété fondamentale de la translation est soulignée :

Highlight: Une translation non nulle n'admet pas de point fixe, ce qui signifie que tous les points du plan sont déplacés.

La rotation est présentée avec un centre de rotation et plusieurs points (A, B, C) avec leurs images respectives.

Definition: Une rotation est une transformation qui fait tourner tous les points du plan autour d'un point fixe appelé centre de rotation, d'un même angle et dans un même sens.

Les caractéristiques principales d'une rotation sont détaillées :

1. Tous les points tournent autour du centre en restant à la même distance de celui-ci.
2. L'amplitude de la rotation est la même pour tous les points.
3. Le sens de rotation est identique pour tous les points.

Highlight: Une rotation d'amplitude non nulle n'admet qu'un seul point fixe : son centre.

Le sens de rotation est également illustré, montrant qu'une rotation peut être effectuée dans le sens horaire ou antihoraire.

Example: Dans la figure, les points A, B, et C sont transformés en A', B', et C' par une rotation autour du centre marqué d'un cercle.

Ce chapitre fournit une compréhension approfondie des transformations géométriques de translation et de rotation, essentielles pour les exercices de transformation du plan en mathématiques au collège et au lycée.