Matières

Maths

146

•

30 nov. 2025

•

9 pages

Exploration des Concepts de Bilinéarité et de Symétrie en Mathématiques

Chanel Lemaine

@chanizzle

Tu vas découvrir les formes bilinéaires symétriques et les formes... Affiche plus

1 / 9

Chapitre 2
Formes bilinéaires symétriques,
formes quadratiques
2.1 Formes bilinéaires symétriques
Dans ce qui suit, E est un espace vectorie

Formes bilinéaires symétriques - Les bases

Imagine une forme bilinéaire comme une fonction qui prend deux vecteurs et renvoie un nombre. Elle est "bilinéaire" car elle est linéaire dans ses deux arguments - exactement comme le produit scalaire que tu connais déjà !

Une forme bilinéaire $b: E \times E \to K$ doit respecter la règle de linéarité : $b(x_1 + x_2, y) = b(x_1, y) + b(x_2, y)$ et pareil pour le deuxième argument. Quand en plus $b(x,y) = b(y,x)$ , on dit qu'elle est symétrique.

Les exemples les plus simples ? La multiplication sur $K$ , le produit scalaire usuel dans $\mathbb{R}^2$ , ou même l'intégrale $\int_{-1}^1 f(t)g(t)dt$ pour des fonctions continues.

À retenir : La symétrie te fait gagner du temps - tu n'as besoin de vérifier la linéarité que d'un seul côté !

Représentation matricielle

Chaque forme bilinéaire symétrique peut être représentée par une matrice symétrique ! Si tu as une base $(e_1, \dots, e_n)$ , la matrice $M_E(b)$ a pour coefficients $b(e_i, e_j)$ .

L'astuce géniale : pour calculer $b(x,y)$ , il suffit de faire $b(x,y) = {}^tX M_E(b) Y$ où $X$ et $Y$ sont les coordonnées de tes vecteurs. Par exemple, la matrice $\begin{pmatrix} 3 & 1\1 & -2 \end{pmatrix}$ correspond à la forme $(x_1, x_2, y_1, y_2) \mapsto 3x_1y_1 - 2x_2y_2 + x_1y_2 + x_2y_1$ .

Quand tu changes de base avec une matrice $P$ , ta nouvelle matrice devient ${}^tP M_E(b) P$ . Cette formule de changement de base est cruciale pour tes calculs !

Astuce pratique : Une matrice symétrique quelconque définit toujours une forme bilinéaire symétrique.

Noyau et orthogonalité

Le noyau d'une forme bilinéaire $b$ est l'ensemble des vecteurs $x$ tels que $b(y,x) = 0$ pour tout $y$ . Quand ce noyau se réduit à ${0}$ , la forme est dite non dégénérée.

L'orthogonal d'un sous-espace $F$ pour $b$ est $F^\perp = {x \in E | \forall y \in F \ b(y,x) = 0}$ . C'est exactement comme l'orthogonalité géométrique que tu connais, mais généralisée !

En dimension finie, si $b$ est non dégénérée, alors $\dim(F^\perp) = n - \dim(F)$ . Cette formule te permet de calculer rapidement les dimensions des orthogonaux.

Point clé : Une forme bilinéaire est non dégénérée si et seulement si sa matrice est inversible.

Introduction aux formes quadratiques

Une forme quadratique $q(x)$ s'obtient en prenant une forme bilinéaire symétrique $b$ et en calculant $q(x) = b(x,x)$ . C'est comme "mettre au carré" ta forme bilinéaire !

Les exemples classiques incluent $x \mapsto x^2$ sur $\mathbb{R}$ , ou $(x_1, x_2) \mapsto x_1^2 + x_2^2$ dans le plan. En dimension finie, toute forme quadratique s'écrit $q(x) = {}^tX M X$ avec une matrice symétrique.

La forme polaire de $q$ est l'unique forme bilinéaire symétrique qui lui correspond : $b(x,y) = \frac{1}{2}(q(x+y) - q(x) - q(y))$ . Cette formule te permet de retrouver la forme bilinéaire à partir de la forme quadratique.

Attention : Un vecteur $x$ est dit isotrope si $q(x) = 0$ , même si $x \neq 0$ !

Bases orthogonales et décomposition

Une base orthogonale pour une forme quadratique $q$ rend sa matrice diagonale ! Dans une telle base, $q$ s'écrit simplement comme $q(x) = a_1x_1^2 + \dots + a_nx_n^2$ .

Le théorème fondamental : toute forme quadratique admet des bases orthogonales. Mieux encore, elle se décompose toujours en somme de carrés : $q = c_1l_1^2 + \dots + c_rl_r^2$ avec des formes linéaires indépendantes $l_i$ .

L'algorithme de Gauss te permet de calculer cette décomposition concrètement. Il y a deux cas : soit tu as un carré de variable (tu complètes le carré), soit tu as seulement des produits croisés $tu complètes le produit puis tu utilises l'identité $(u+v)^2 - (u-v)^2 = 4uv$$ .

Méthode pratique : L'algorithme de Gauss fonctionne toujours et donne une base orthogonale explicite.

Classification sur les complexes

Deux matrices sont congruentes si l'une s'obtient de l'autre par $B = {}^tPAP$ avec $P$ inversible. C'est exactement la relation que respectent les matrices de formes quadratiques lors des changements de base !

Sur $\mathbb{C}$ , la classification est très simple : toute forme quadratique de rang $r$ peut être mise sous la forme $x_1^2 + \dots + x_r^2$ . Autrement dit, sa matrice devient $\begin{pmatrix} I_r & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

Le résultat clé : deux matrices symétriques complexes sont congruentes si et seulement si elles ont même rang. C'est tout ! La classification sur $\mathbb{C}$ ne dépend que du rang.

À retenir : Sur $\mathbb{C}$ , seul le rang compte pour la classification des formes quadratiques.

Classification sur les réels et signature

Sur $\mathbb{R}$ , la classification est plus riche grâce au théorème d'inertie de Sylvester. La signature $(s,t)$ compte le nombre de coefficients positifs et négatifs dans une base orthogonale.

Si ta matrice diagonale est $\text{diag}(a_1, \dots, a_n)$ , alors $s$ = nombre de $a_i > 0$ et $t$ = nombre de $a_i < 0$ . Cette signature ne dépend pas du choix de la base orthogonale - c'est un invariant !

Une forme quadratique est définie positive si $q(x) > 0$ pour tout $x \neq 0$ . Géométriquement, cela correspond à $s = n$ et $t = 0$ dans la signature.

Résultat fondamental : Deux matrices symétriques réelles sont congruentes si et seulement si elles ont même signature.

Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

Où puis-je télécharger l'application Knowunity ?

Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

L'application est-elle vraiment gratuite ?

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

Rien ne te convient ? Explore d'autres matières.

Les étudiants nous adorent — il ne manque plus que toi.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

Stefan S

utilisateur iOS

Samantha Klich

utilisatrice Android

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

Raoul

utilisateur IOS

Ella

utilisatrice iOS

Matières

Maths

•

146

•

30 nov. 2025

•

9 pages

Exploration des Concepts de Bilinéarité et de Symétrie en Mathématiques

Chanel Lemaine

@chanizzle

Tu vas découvrir les formes bilinéaires symétriques et les formes quadratiques, deux outils mathématiques super utiles en algèbre linéaire ! Ces concepts t'aideront à comprendre comment mesurer des "distances" et des "angles" dans des espaces vectoriels abstraits.

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Accès à tous les documents

Améliore tes notes

Rejoins des millions d'étudiants

En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.

Formes bilinéaires symétriques - Les bases

Les exemples les plus simples ? La multiplication sur $K$ , le produit scalaire usuel dans $\mathbb{R}^2$ , ou même l'intégrale $\int_{-1}^1 f(t)g(t)dt$ pour des fonctions continues.

À retenir : La symétrie te fait gagner du temps - tu n'as besoin de vérifier la linéarité que d'un seul côté !

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Accès à tous les documents

Améliore tes notes

Rejoins des millions d'étudiants

En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.

Représentation matricielle

Chaque forme bilinéaire symétrique peut être représentée par une matrice symétrique ! Si tu as une base $(e_1, \dots, e_n)$ , la matrice $M_E(b)$ a pour coefficients $b(e_i, e_j)$ .

Quand tu changes de base avec une matrice $P$ , ta nouvelle matrice devient ${}^tP M_E(b) P$ . Cette formule de changement de base est cruciale pour tes calculs !

Astuce pratique : Une matrice symétrique quelconque définit toujours une forme bilinéaire symétrique.

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Accès à tous les documents

Améliore tes notes

Rejoins des millions d'étudiants

En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.

Noyau et orthogonalité

Le noyau d'une forme bilinéaire $b$ est l'ensemble des vecteurs $x$ tels que $b(y,x) = 0$ pour tout $y$ . Quand ce noyau se réduit à ${0}$ , la forme est dite non dégénérée.

L'orthogonal d'un sous-espace $F$ pour $b$ est $F^\perp = {x \in E | \forall y \in F \ b(y,x) = 0}$ . C'est exactement comme l'orthogonalité géométrique que tu connais, mais généralisée !

En dimension finie, si $b$ est non dégénérée, alors $\dim(F^\perp) = n - \dim(F)$ . Cette formule te permet de calculer rapidement les dimensions des orthogonaux.

Point clé : Une forme bilinéaire est non dégénérée si et seulement si sa matrice est inversible.

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Accès à tous les documents

Améliore tes notes

Rejoins des millions d'étudiants

En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.

Introduction aux formes quadratiques

Une forme quadratique $q(x)$ s'obtient en prenant une forme bilinéaire symétrique $b$ et en calculant $q(x) = b(x,x)$ . C'est comme "mettre au carré" ta forme bilinéaire !

Attention : Un vecteur $x$ est dit isotrope si $q(x) = 0$ , même si $x \neq 0$ !

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Accès à tous les documents

Améliore tes notes

Rejoins des millions d'étudiants

En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.

Bases orthogonales et décomposition

Une base orthogonale pour une forme quadratique $q$ rend sa matrice diagonale ! Dans une telle base, $q$ s'écrit simplement comme $q(x) = a_1x_1^2 + \dots + a_nx_n^2$ .

Méthode pratique : L'algorithme de Gauss fonctionne toujours et donne une base orthogonale explicite.

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Accès à tous les documents

Améliore tes notes

Rejoins des millions d'étudiants

En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.

Classification sur les complexes

Le résultat clé : deux matrices symétriques complexes sont congruentes si et seulement si elles ont même rang. C'est tout ! La classification sur $\mathbb{C}$ ne dépend que du rang.

À retenir : Sur $\mathbb{C}$ , seul le rang compte pour la classification des formes quadratiques.

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Accès à tous les documents

Améliore tes notes

Rejoins des millions d'étudiants

En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.

Classification sur les réels et signature

Une forme quadratique est définie positive si $q(x) > 0$ pour tout $x \neq 0$ . Géométriquement, cela correspond à $s = n$ et $t = 0$ dans la signature.

Résultat fondamental : Deux matrices symétriques réelles sont congruentes si et seulement si elles ont même signature.

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Accès à tous les documents

Améliore tes notes

Rejoins des millions d'étudiants

En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Accès à tous les documents

Améliore tes notes

Rejoins des millions d'étudiants

En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.

Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Où puis-je télécharger l'application Knowunity ?

Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

L'application est-elle vraiment gratuite ?

Outils Intelligents NOUVEAU

Transforme cette fiche en : ✓ 50+ Questions d'Entraînement ✓ Cartes Mémoire Interactives ✓ Examen Blanc Complet ✓ Plans de Dissertation

Examen Blanc

Quiz

Flashcards

Dissertation

Rien ne te convient ? Explore d'autres matières.

Les étudiants nous adorent — il ne manque plus que toi.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

utilisateur iOS

Samantha Klich

utilisatrice Android

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

Raoul

utilisateur IOS

Ella

utilisatrice iOS

Stefan S

utilisateur iOS

Samantha Klich

utilisatrice Android

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

Raoul

utilisateur IOS

Ella

utilisatrice iOS

Exploration des Concepts de Bilinéarité et de Symétrie en Mathématiques

Formes bilinéaires symétriques - Les bases

Représentation matricielle

Noyau et orthogonalité

Introduction aux formes quadratiques

Bases orthogonales et décomposition

Classification sur les complexes

Classification sur les réels et signature

Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Où puis-je télécharger l'application Knowunity ?

L'application est-elle vraiment gratuite ?

Rien ne te convient ? Explore d'autres matières.

Les étudiants nous adorent — il ne manque plus que toi.

4.9/5

4.8/5

Exploration des Concepts de Bilinéarité et de Symétrie en Mathématiques

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Formes bilinéaires symétriques - Les bases

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Représentation matricielle

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Noyau et orthogonalité

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Introduction aux formes quadratiques

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Bases orthogonales et décomposition

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Classification sur les complexes

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Classification sur les réels et signature

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Où puis-je télécharger l'application Knowunity ?

L'application est-elle vraiment gratuite ?

Rien ne te convient ? Explore d'autres matières.

Les étudiants nous adorent — il ne manque plus que toi.

4.9/5

4.8/5

L'application est-elle vraiment gratuite ?

L'application est-elle vraiment gratuite ?