Proportionnalité et Reconnaissance des Situations Proportionnelles

La proportionnalité est un concept mathématique que nous utilisons souvent sans même nous en rendre compte.

Qu'est-ce que la proportionnalité ?

• Deux grandeurs sont proportionnelles quand les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre.
• Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité.
• Exemple: le prix des tomates est proportionnel à leur masse.
• Contre-exemple: l'âge d'une personne et sa taille ne sont pas proportionnels.

Tableaux de proportionnalité

• Un tableau de proportionnalité regroupe les valeurs de deux grandeurs proportionnelles.
• Dans ces tableaux, les nombres d'une ligne s'obtiennent en multipliant ceux de l'autre ligne par le coefficient de proportionnalité.

Méthode Clé : Pour vérifier si un tableau est de proportionnalité, calculez les quotients des valeurs correspondantes. Si tous les quotients sont égaux, alors c'est un tableau de proportionnalité et ce quotient est le coefficient de proportionnalité.

Exemples pour s'exercer:

1. Tableau des macarons:

   Nombre de macarons | 6  | 10 | 15
   Prix (en €)        | 8,4| 14 | 21
   

   8,4 ÷ 6 = 1,4; 14 ÷ 10 = 1,4; 21 ÷ 15 = 1,4 C'est un tableau de proportionnalité avec coefficient 1,4.

2. Tableau de location:

   Durée (en h)  | 2  | 5
   Prix (en €)   | 17 | 38
   

   17 ÷ 2 = 8,5; 38 ÷ 5 = 7,6 Ce n'est pas un tableau de proportionnalité car 8,5 ≠ 7,6.

Calcul d'une quatrième proportionnelle

Dans un tableau de proportionnalité, quand on connaît trois valeurs, on peut calculer la quatrième (appelée quatrième proportionnelle).

Méthode 1 : Utiliser le coefficient de proportionnalité

• Exemple avec tableau à compléter:

  | 3 | 8 | 5 | ?
  |---|---|---|---
  |13,5| 36|22,5| 9
  

  36 ÷ 8 = 4,5 (coefficient) 3 × 4,5 = 13,5 et 9 ÷ 4,5 = 2

Méthodes de Calcul et Notion de Ratio

Pour compléter un tableau de proportionnalité, plusieurs méthodes sont disponibles.

Méthode 2 : Les propriétés de linéarité

• Vous pouvez additionner ou soustraire des colonnes pour obtenir une nouvelle colonne.
• Vous pouvez multiplier ou diviser une colonne par un nombre non nul.

Exemple:

| 1 | 3 | ? | 3,5
|---|---|---|----
| 12| 24| 38| 14

• 3 + 1 = 4, donc 24 + 12 = 36
• 12 × 2 = 24, donc 3 × 2 = 6
• 24 + 14 = 38, donc 6 + 3,5 = 9,5

Astuce Pratique : La méthode de linéarité est particulièrement utile pour les exercices de proportionnalité 5ème et permet souvent de trouver rapidement la valeur manquante sans calculer explicitement le coefficient.

Méthode 3 : Le retour à l'unité

• Cherchez la valeur d'une grandeur quand l'autre vaut 1.
• Multipliez ensuite par la valeur cherchée.

Exemple:

| 8 | 5,2
|---|----
| 20| ?

• 20 ÷ 8 = 2,5 (valeur pour 1)
• 2,5 × 5,2 = 13 (valeur cherchée)

La notion de ratio

Un ratio est une façon d'exprimer un rapport entre plusieurs nombres.

• Deux nombres a et b sont dans le ratio 2:3 si a/2 = b/3
• Trois nombres a, b et c sont dans le ratio 2:3:4 si a/2 = b/3 = c/4

Concept Important : Un ratio crée un tableau de proportionnalité. Si a, b et c sont dans le ratio 2:3:4, alors on peut former un tableau de proportionnalité avec ces valeurs.

Application : Partage proportionnel

Exemple: Partager 320€ entre Sam et Max selon le ratio 3:5

1. Calculez la somme des coefficients: 3 + 5 = 8
2. Divisez la somme totale par cette somme: 320 ÷ 8 = 40
3. Multipliez chaque coefficient par ce résultat:
   • Part de Sam: 3 × 40 = 120€
   • Part de Max: 5 × 40 = 200€

Ce type d'exercice est souvent présent dans les évaluations de proportionnalité et pourcentage 4ème avec corrigé.

Pourcentages et Échelles

Les pourcentages

Un pourcentage est une façon d'exprimer une proportion par rapport à 100.

• Une proportion est un rapport entre deux grandeurs.
• Elle peut s'exprimer sous forme de fraction, nombre décimal ou pourcentage.

Exemple: Dans une classe de 30 élèves, 6 ont les yeux bleus.

• Proportion: 6/30 = 0,2 = 20/100 = 20%

Règle Essentielle : Prendre t% d'une quantité revient à multiplier cette quantité par t/100. Par exemple, 72% de 125g = 125 × 0,72 = 90g.

Pourcentages courants à connaître:

• 10% = un dixième = ×0,1
• 25% = un quart = ×0,25
• 50% = la moitié = ×0,5
• 75% = trois quarts = ×0,75
• 100% = le tout = ×1
• 200% = le double = ×2
• 300% = le triple = ×3

Comment calculer un pourcentage?

Pour exprimer une proportion en pourcentage:

1. Utiliser un tableau de proportionnalité
2. Ou convertir la fraction en une fraction de dénominateur 100

Exemple: Dans un club de handball, 7 joueurs sur 28 sont gauchers.

• Méthode du tableau:

  | 7  | ?
  |----|----|
  | 28 | 100|
  

  7/28 = 0,25 → 0,25 × 100 = 25
• Méthode de la fraction: 7/28 = 25/100 = 25%

Dans les deux cas, il y a 25% de gauchers dans le club.

Les échelles

L'échelle d'un plan est le coefficient de proportionnalité entre les distances sur le plan et les distances réelles (exprimées dans la même unité).

Échelle = distance sur le plan / distance réelle

Application Concrète : Une échelle de 1/250 000 signifie que 1 cm sur le plan représente 250 000 cm (soit 2,5 km) en réalité.

Exemple: Sur une carte à l'échelle 1/250 000, deux lieux sont distants de 4,5 cm.

• Distance réelle = 4,5 × 250 000 = 1 125 000 cm = 11,25 km

Les exercices sur les échelles sont fréquents dans les cours de proportionnalité et pourcentage 6ème jusqu'en 3ème, et le principe reste le même: un simple tableau de proportionnalité.