Révision math pour le brevets 2024

Légende alternative :

les puissances de 10 PUISSANCES V-Quatrième - Troisième - L'écriture scientifique LE CALCUL LITTÉRAL CALCUL LITTÉRAL I-Quatrième - Réduction des expressions littérales CALCUL LITTÉRAL II-Quatrième - Opposé d'une expression littérale. CALCUL LITTÉRAL III - Quatrième - Développement et réduction des expressions littérales. CALCUL LITTÉRAL IV-Quatrième - Développement et réduction des expressions littérales. CALCUL LITTÉRAL V-Quatrième - Troisième - Développement et réduction des expressions littérales CALCUL LITTÉRAL VI-Troisième - Développement et réduction des expressions littérales CALCUL LITTÉRAL VII - Troisième - Lycée Développement et réduction des expressions littérales CALCUL LITTÉRAL VIII - Quatrième - Factorisation à facteur commun CALCUL LITTÉRAL IX-Troisième - Factorisation à facteur commun CALCUL LITTÉRAL X-Troisième - Lycée-Factorisation à facteur commun CALCUL LITTÉRAL XI-Troisième - Lycée - Les identités remarquables CALCUL LITTÉRAL XII - Troisième - Lycée - Les identités remarquables CALCUL LITTÉRAL XIII-Troisième - Lycée - Développement d'expression très complexes CALCUL LITTÉRAL XIV-Troisième - Lycée-Factorisation avec les identités remarquables 3 3 3 5 5 8 10 12 14 16 18 20 20 22 24 25 28 30 32 34 36 38 38 40 42 43 46 47 47 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 PROPRIÉTÉ : La symétrie axiale par rapport à une droite correspond à un pliage le long de cette droite. Soit M un point et (d) une droite ne contenant pas ce point. Le symétrique M' de M par rapport à l'axe (d) vérifie les deux propriétés suivantes : (MM') L (d); - la droite (d) coupe [MM'] en son milieu. De manière équivalente, cela signifie que la droite (d) est la médiatrice du segment [MM']. A Sixième SYMÉTRIE AXIALE SUR PAPIER QUADRILLÉ Tracer le symétrique d'une figure sur papier quadrillé. Axes horizontaux et verticaux D B Tracer le symétrique de chacune des figures par rapport à l'axe (d) tracé en gras: B E C A H A E с Symétrie axiale I F H G G (d) D F EXEMPLES: (d) N' A A C B B C N D G H D 27 H M (d) E G SOCLE COMMUN E M' F (d) F Symétrie axiale I-Correction Sixième Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Tracer le symétrique de chacune des figures par rapport à l'axe (d) tracé en gras : A A A I B I' D B B' I E C C H H C' F H G G in G D D' F' (d) H² E C' E F (d) F' D' E' B' I' A' A' I' A C A B C' I E' F' B B' G' с D H D G H D' H 22/ G H D' (d) C' E В' I' G E F (d) F' E' F A' PROPRIÉTÉ : a et b deux nombres relatifs. Si a et b sont de même signe alors le signe de a + b est le même que celui des deux nombres et la distance à zéro de cette somme est égale à la somme des distances à zéro des deux nombres. Si a et b sont de signes contraires alors le signe de a + b est le signe du nombre le plus éloigné de 0 et la distance à zéro de cette somme est la différence des distances à zéro des deux nombres. a, b et k sont des nombres entiers relatifs non nuls. Deux nombres relatifs sont opposés si leur somme est nulle. A = (+6) + (+8) Nombres relatifs I Quatrième SOMME DES NOMBRES RELATIFS Ajouter des nombres relatifs en regroupant les nombres de même signe Calculer, sans calculatrice, les sommes suivantes : B=(+11) + (-7) C=(-13) + (+8) D= (-11) + (-4) E = (-4) + (+7)+(-11) F = (-6) + (-7) + (+13) G=(+15) + (-7)+(+9) + (-17) EXEMPLES: Z(+6) + (+10) Z= (+16) J= (+5) + (-8) + (−7) + (+9) + (-8) Y = (-6) + (-10) Y = (-16) H= (-3) + (+5) + (−7) + (−4) + (-4) I=(-7)+(-4) + (+7) + (−11) + (-18) SOCLE COMMUN X= (+6) + (-10) X= (-4) W = (-6) + (+10) W = (+4) K= (-3)+(+7)+(+5) + (+3) + (-6) L=(-5)+(-5) + (+4) + (+4) + (-7) M = (-13) + (+76) + (+45) + (+13) + (-76) N = (-11) + (+49) + (-67) + (+11) + (+67) O=(-1) + (-2) + (-3) + (-4) + (+5) + (+4) Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symboles sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Calculer, sans calculatrice, les sommes suivantes : A = (+6) + (+8) On ajoute les distance à zéro, le résul- tat est positif. A = 14 B=(+11)+(-7) On calcule l'écart entre les distances à zéro, le résultat est du signe du nombre le plus éloigné de zéro. B = (+4) C=(-13) + (+8) C=(-5) Nombres relatifs I — Correction Quatrième D= (-11) + (-4) D = (-15) E = (-4)+(+7)+(-11) r E = (-4) + (-11)+(+7) On regroupe les négatifs entre eux et les positifs entre eux. E = (-15) + (+7) E = (-8) F = (-6) + (-7) + (+13) F = (-13) + (+13) F=0 G=(+15)+(-7)+(+9) + (-17) G=(-7)+(-17) + (+15) + (+9) G=(-24) + (+24) G=0 H= (-3) + (+5) + (−7) + (-4) + (-4) r H = (-3)+(-4)+(−4)+(−7)+(+5) H= (-18) + (+5) H = (-13) I= (-7)+(-4) + (+7) + (−11) + (-18) I= (-7)+(+7)+(-4) + (-11) + (-18) Il faut penser à repérer les opposés! I = (-33) J= (+5) + (-8) + (-7) + (+9) + (-8) J = (+5)+(+9)+(-8) +(-7)+(-8) J= (+14) + (-23) J= (-9) K= (-3) + (+7) + (+5) + (+3)+(-6) K = (-3) + (+3) + (+7) + (+5) + (-6) K= (+12) + (-6) K = (+6) L=(-5)+(-5) + (+4) + (+4) + (-7) L=(-5)+(-5)+(-7)+(+4)+(+4) L=(-17) + (+8) L= (-9) M = (-13) + (+76) + (+45) + (+13) + (-76) M = (-76) + (+76) + (-13) + (+13) + (+45) Il faut repérer les opposés! M = (+45) N = (-11) + (+49) + (−67) + (+11) + (+67) N = (-11) + (+11) + (-67) + (+67) + (+49) Il faut repérer les opposés! N = (+49) O=(-1) + (-2) + (-3) + (-4) + (+5) + (+4) O=(-1) + (-2) + (-3)+(+5) O=(-6)+(+5) 0=(-1) PROPRIÉTÉ : Deux nombres relatifs sont des opposés si leur somme est nulle. Soustraire un nombre relatif revient exactement à ajouter son opposé. A = (+10) (+8) Calculer, sans calculatrice, les sommes suivantes : B= (+13) (+6) Nombres relatifs II C=(-13) (+8) Quatrième DIFFÉRENCE DES NOMBRES RELATIFS Soustraire des nombres relatifs en passant par la somme de l'opposé D=(-11)-(+4) E = (-16)-(-7) F = (-19) (-11) EXEMPLES: Z(+6)-(+10) Z(+6)+(-10) |Z=(-4) Y=(-6) (-10) Y = (-6)+(+10) Y = (+4) G=(-13) + (-4)-(-6) H = (+11)-(-13)-(-7) I= (-11)-(+13) + (-14) - (-17) J= (+8)-(-8) + (-13) - (+13) - (-7) X=(+6)-(-10) X= (+6)+(+10) X = (+16) SOCLE COMMUN W = (-6)-(+10) W = (-6)+(-10) W = (-16) K= (+7)+(-7)-(-7)+(-7)-(-7) L=(-19) (-5) - (+7)+(-13)-(-7) M = (+17)-(-26)-(+45)-(+13)-(-6) N = (-3) + (-9) + (-12) - (-11) - (-10) O=(-1)-(-2) + (-3) -(-4) + (+5) - (+4) Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Calculer, sans calculatrice, les sommes suivantes : A (+10)-(+8) A (+10)+(-8) A = (+2) B (+13) (+6) B=(-13)+(-6) B = (-19) C = (-13) (+8) C = (-13)+(-8) |C=(-21) D=(-11)-(+4) D= (-11)+(-4) D = (-15) Nombres relatifs II - Correction Quatrième E = (-16)-(-7) E = (-16)+(+7) E = (-9) F=(-19) (-11) F=(-19)+(+11) F = (-8) G=(-13) + (-4) -(-6) G=(-13) + (-4)+(+6) G=(-17) + (+6) G=(-11) H = (+11)-(-13)-(-7) H= (+11)+(+13)+(+7) H = (+31) I= (-11)-(+13) + (-14)-(-17) I= (-11)+(-13) + (-14)+(+17) I= (-38) + (+17) I=(-19) J= (+8)-(-8) + (-13)-(+13)-(-7) J= (+8)+(+8) + (−13)+(-13)+(+7) J= (+23) + (-26) J= (-3) K= (+7)+(-7)-(-7)+(-7)-(-7) K= (+7)+(-7)+(+7)+(-7)+(+7) K= (+7) L=(-19) (-5) - (+7) + (−13) - (-7) L= (-19)+(+5) + (-7) + (-13)+(+7) L= (-39) + (+12) L=(-27) M = (+17)-(-26)-(+45)-(+13)-(-6) M = (+17)+(+26) + (-45) + (-13) + (+6) M = (+49) + (-58) M = (-9) N = (-3) + (-9) + (-12) - (-11)-(-10) N = (-3) + (-9) + (−12)+(+11) + (+10) N = (-24) + (+21) N = (-3) O=(-1)-(-2) + (-3) - (-4) + (+5) - (+4) O=(-1)+(+3)+(-3)+(+4) + (+5)+(-4) 0 = (-8) + (+12) 0 = (+4) SOCLE COMMUN L'ÉCRITURE ALGÉBRIQUE Comprendre l'écriture algébrique et l'utiliser dans le cadre d'expressions complexes utilisant les priorités opératoires PROPRIÉTÉ : L'écriture algébrique consiste à écrire une expression comme une somme de nombres relatifs. Les symboles + et - dési- gnent le caractère positif ou négatif du nombre. On effectue la somme des termes successifs. L'addition est sous-entendue et le symbole d'addition n'est pas écrit. De manière pratique, quand dans une expression algébrique deux signes identiques se suivent (++ ou -) on peut écrire un symbole +. Quand deux signes contraires se suivent -+- ou -+) on peut écrire un symbole -. A=-5+8-9+1-8 Nombres relatifs III B-5-7-9+11-8+5 Quatrième C=(-5+3-8)-(1-7-6) D=1-(-3-2)-(1-9) E = [1 (1-1) − 1] - [1 − (1 + 1) − 1] EXEMPLES: Calculer, en détaillant et sans calculatrice, les expressions suivantes : Z=-6+8-9-8+7-1 Z= (-6) + (+8) + (-9) + (-8) + (+7)+(-1) Cette ligne ne doit pas être écrite! Z=-24 +15 Z=-9 Y = (-7+8-9-3)-(-4-5)+(-3+1) Y=-11-(-9) + (-2) Y=-11+9-2 Y = (-4) F=-3-(-5+7)+(-3-7)-(-1+9) G = 10 [1-(3-5)]-(-3+9) - 1 H=3- [5 [3-(6-9)-3]]-(-6+3) I=(-7-8)-[(-1-(-1-3)-3) -1]-(-1-3) J=-7-[-6-(-5-4)-3]-[-2-(-1-3)+3-1] -10 Correction Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symboles sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Calculer, en détaillant et sans calculatrice, les expressions suivantes : A=5+8-9+1-8 r A = -22+9 A = -13 A = (-5)+(+8) + (−9) + (+1) + (-8) B 5-7-9+11-8+5 B= (+5)+(-7) + (-9) + (+11) + (-8) + (+5) B = -24+21 B-3 Nombres relatifs III - Quatrième C=(-5+3-8)-(1-7-6) C=-10-(-12) C = -10+12 C=2 D=1-(-3-2)-(1-9) D=1-(-5)-(-8) D=1+5+8 D = 14 E = [1-(-1-1) − 1] − [1 − (1 + 1) − 1] E [1-(-2)-1]-(1-2-1]) E = (1+2-1)-(-2) E=2+2 E = 4 F=-3-(-5+7)+(-3-7)−(−1+9) F=-3-2+(-10)-8 F=-3-2-10-8 F=-23 G=10-[1-(3-5)]-(-3+9) - 1 G=10 [1-(-2)]-6-1 G= 10 (1+2) -7 G=10-3-7 G=0 H=3- [5 H=3- [5 [3-(-3) -3]]-(-3) H=3 [5 (3+3-3)] +3 H 3 (5-3) +3 H=3-2+3 H = 4 [3-(6-9)-3]]-(-6+3) I=(-7-8)-[(-1-(-1-3)-3) -1]-(-1-3) I=-15-[(-1-(-4)-3) -1] - (-4) I=-15-[(-1+4-3) -1]+4 I=-15-(-4+4-1) +4 I=-15-(-1) +4 I=-15+1+4 I=(-10) J=-7-[-6-(-5-4)-3]-[-2-(-1-3) +3-1] -10 J=-7-[-6-(-9)-3]-[-2-(-4)+3-1] -10 J=-7-[-6+9-3]-[-2+4+3-1] -10 J=-7-(-9+9)-(-3+7)-10 J=-7-0-(+4) - 10 J=-7-4-10 J = -21 PROPRIÉTÉ : Pour multiplier deux nombres relatifs : On multiplie les distances à zéro; pour le signe on applique la règle suivante : si les deux facteurs sont de même signe alors le produit est positif; - si les deux facteurs sont de signes contraires alors le produit est negatif. A= (-4) × (-7) B (+5) × (-5) C=(-7) × (-3) Quatrième PRODUIT DES NOMBRES RELATIFS Calculer le produit de plusieurs nombres relatifs en utilisant la priorité de la multiplication Calculer, en détaillant et sans calculatrice, les expressions suivantes : D= (-8) × (+9) E = (+9) x (+5) Nombres relatifs IV F = (-3) x (+9) + (+7) × (-3) G=(-3) × (-5) - (+5) × (+2) H = (+8) × (-6) - (-4) × (-3) + (-3) × (+9) EXEMPLES : Z= (+7) x (+8)= (+56) Y = (-7) x (+8)= (-56) X= (+7) × (-8)= (-56) W = (-7) × (-8)= (+56) Ne pas oublier la priorité de la multiplication! V = (-3) x (+3)-(-6) × (-3) + (+4) × (-2) V=-9-(+18) + (-2) V=-9-18-2 V = -29 I= (-1) × (-1) × (-1) × (-1) × (-1) J= (-1) × (-1) × (-1) × (-1) × (-1) × (-1) K = (-1) 123 L = (-1)2024 M = (-1) × (-2) × (-3) × (-4) N = (-2) × (-2)-(-1) × (-2) × (-3) ÉVALUATION O=(-1+2-3) × (-3+2-1) P= (-1× (-2) + (-3) × (-1)) (3 × (-3) -5× (-4)) Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Calculer, en détaillant et sans calculatrice, les expressions suivantes : A = (-4) × (-7) A = 28 B = (+5) × (-5) B = (-25) C=(-7) × (-3) C = 21 D= (-8) x (+9) D = -72 Nombres relatifs IV - Correction Quatrième E = (+9) × (+5) E = 45 F = (-3) x (+9) + (+7) × (-3) Dans une série d'opérations, les multi- plications sont prioritaires. F=-27+ (-21) F=-27-21 F=-48 G=(-3) × (-5)-(+5) × (+2) G=15-(+10) G=15-10 G=5 H (+8) × (-6) - (-4) × (-3) + (-3) × (+9) H-48 (+12) - (-27) H-48-12 +27 H = -60+27 H = -33 I= (-1) × (-1) × (-1) × (-1) × (-1) I= 1x1x (-1) I=(-1) J= (-1)×(-1)×(-1)×(-1)×(-1) × (-1) J=1x1x1 J=1 Quand le nombre de facteurs négatifs d'un produit est pair, alors ce produit est positif. Quand le nombre de fac- teurs négatifs d'un produit est impair, alors ce produit est négatif. K = (-1) 123 Comme 123 est impair, le produit de (-1) par lui-même 123 fois de suite est négatif. K= -1 L=(-1)2024 Comme 2024 est pair, le produit de (-1) par lui même 2024 fois de suite est positif. L=1 M=(-1) × (-2) × (-3) × (-4) M = 2 x 12 M = 24 N = (-2) × (-2)-(-1) × (-2) × (-3) N=4-(+2) × (-3) N=4-(-6) N = 4+6 N = 10 O=(-1+2-3) × (-3+2-1) O=(-4+2) × (-4+2) 0=-2 × (-2) O=4 P= (-1 × (-2) + (-3) × (-1)) (3 × (-3) -5× (-4)) P= (2+3)(-9+20) P= 5x11 P = 55 Quatrième EXPRESSIONS NUMÉRIQUES COMPLEXES Calculer une expression numérique complexe sous forme algébrique en tenant compte des priorités opératoires PROPRIÉTÉ : Pour multiplier deux nombres relatifs : On multiplie les distances à zéro; pour le signe on applique la règle suivante : - si les deux facteurs sont de même signe alors le produit est positif; - si les deux facteurs sont de signes contraires alors le produit est negatif. Dans une expression, les multiplications sont prioritaires! A= (-3+7)(-1+3-5) B= (-3-5+2)(-2+7-3) Nombres relatifs V Calculer, en détaillant et sans calculatrice, les expressions suivantes : C=1-(3-9) (1-8) D-3+3(-1-3)-3 E-7-5(-1+3)-3(5-1) F = [3-3× (-2)] [2-2 × (-2)] EXEMPLES: Z= (+7) x (+8)= (+56) Y = (-7) x (+8)= (-56) X= (+7) × (-8)= (-56) W = (-7) × (-8) = (+56) Ne pas oublier la priorité de la multiplication! V = (-3) x (+3) -(-6) × (-3) + (+4) × (-2) V=-9-(+18) + (-2) V=-9-18-2 V = -29 G=-5(6-3)-4(2-1)+3(10-17) H = (-3+8-9)(1-9+5) (6-3-4)(1-2-3) EXPERT I=(-3-3)(-2-1)-(6-7)(-3+9)-(-3+1)(-2-3) J= [1-(-1-1) −1] [−1+ (−1−1) + 1] K=1-[2× (-3) -4 × (-5)+6x7]-(-1-2-3)(1-2-3) L= [1-(-1-3)] [(-1-4)-(5-3)] [-1-(-1-3) -1] Quatrième Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Calculer, en détaillant et sans calculatrice, les expressions suivantes : A= (-3+7) (-1+3-5) A = 4(-3) A=-12 B=(-3-5+2)(-2+7-3) B=(-8+2)(-5+7) B= (-6) x 2 B=-12 C=1-(3-9) (1-8) C=1-(-6)(-7) C=1-42 D = -41 D=-3+3(-1-3)-3 D-3+3(-4)-3 D=-3-12-3 D=-18 Nombres relatifs V- Correction E-7-5(-1+3)-3(5-1) E-7-5(+2)-3(+4) E-7-10-12 E = -29 F = [3-3× (-2)] [2-2 × (-2)] F = [3+6] [2+4] On pouvait aussi écrire: F = [3-(-6)] [2-(-4)] puis F = [3+6] [2+4] F=9x6 F = 54 G=-5(6-3)-4(2-1)+3(10-17) G=-5x3-4x1+3x (-7) G=-15-4-21 G=-40 H=(-3+8-9) (1-9+5) (6-3-4)(1-2-3) H=(-4) (-3)(-1)(-4) H = 12 x 4 H = 48 I=(-3-3)(-2-1)-(6-7)(-3+9)-(-3+1)(-2-3) I=(-6)(-3)-(-1)(+6)-(-2)(-5) I=18-(-6) (+10) I= 18+6-10 I=14 J= [1-(-1-1) −1] [−1+ (−1-1) + 1] J= [1-(-2)-1] [-1+(-2) + 1] J= (1+2-1)(-1-2+1) J = 2(-2) =-4 K=1-[2 × (-3) -4 × (-5)+6x7]-(-1-2-3)(1-2-3) K=1-(-6+20+42)-(-6) (-4) K=1-(+56) - (+24) K1-56-24 K = -79 L= [1-(-1-3)] [(-1-4)-(5-3)] [-1-(-1-3) -1] L = [1-(-4)][-5-(+2)][-1-(-4)-1] L= (1+4)(-5-2)(-1+4-1) L=5× (-7) x (+2) L=-70 PROPRIÉTÉ : Pour multiplier deux nombres relatifs : On multiplie les distances à zéro; pour le signe on applique la règle suivante : - si les deux facteurs sont de même signe alors le produit est positif; - si les deux facteurs sont de signes contraires alors le produit est negatif. Dans une expression, les multiplications sont prioritaires! A=a+b+c+d Quatrième EXPRESSIONS LITTÉRALES COMPLEXES Substituer des nombres relatifs dans des expressions littérales complexes B=a-b-c-d C=-a+b-c+d Nombres relatifs VI Calculer, en détaillant et sans calculatrice, les expressions suivantes : On pose a = -3, b= 5, c= -8 et d = -1. D= (a - b)+(b-c)+(c-d) + (d-a) E = (a-b+c-d)-(a+b-c+d) F = a (b-c)-(c-d)-(d-a)-(a - b) EXEMPLES: Z= (+7) x (+8)= (+56) Y = (-7) x (+8)= (-56) X= (+7) × (-8)= (-56) W = (-7) × (-8) = (+56) Ne pas oublier la priorité de la multiplication! V = (-3) x (+3) -(-6) × (-3) + (+4) × (-2) V=-9-(+18) + (-2) V=-9-18-2 V = -29 G=(a - b)(a + b) H=axa-bxb I= (a - b)(cd) J= axc-axd-bxc+bxd K= ab-bc+cd-ac+bd - ad EXPERT L=a²b²c² + d² Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Calculer, en détaillant et sans calculatrice, les expressions suivantes : A=a+b+c+d A = (-3) + (+5) + (-8) + (−1) A = −3+5-8-1 A = -7 B=a-b-c-d B-3-5-(-8)-(-1) B-3-5+8+1 B=1 C=-a+b-c+d C=-(-3) +5-(-8) + (-1) C=3+5+8-1 C = 15 Nombres relatifs VI - Correction Quatrième D = (a - b) + (b-c)+(c-d) + (d - a) D= (-3-5)+(5-(-8))+((-8) - (-1)) + ((-1)-(-3)) D = −8+ (5+8) + (−8+1) + (−1+3) D=8+13+(-7)+2 D=5-7+2 D=0 E = (a-b+c-d)-(a+b-c+d) E= (-3-5+ (-8)-(-1))-(-3+4-(-8) + (-1)) E=(-3-5-8+1)-(-3+4+8-1) E = (-16+1)-(-4+12) E=-15-(-8) E = -15+8 E=-7 F = a (b-c)-(c-d)-(d-a) - (a - b) F=-3-(5-(-8)) - (-8-(-1))-(-3-5) F=-3-(5+8)-(-8+1)-(-8) F=-3-13-(-7)+8 F-16+7+8 F = -1 G=(a - b)(a + b) G=(-3-5)(-3+5) G=-8x2 E=-16 H=axa-bxb H=-3x (-3) -5x5 H = 9-25 H = -16 On remarque que G = H I= (a - b)(c-d) I=(-3-5)(-8-(-1)) I= -8 (-8+1) I= -8 × (-7) I=56 J= axc-axd-bxc+bxd J=-3x (-8)-(-3) × (-1)-5x (-8) +5× (-1) J= 24-3+40-5 J=56 Ce n'est pas par hasard que I = J K = ab-bc+cd-ac+bd-ad K = (-3) × 5-5 × (-8) + (-8) × (-1)-(-3) (-8) +5 × (-1) - (-3) (-1) K = -15+40+8-24-5-3 K-47 +48 K = 1 L=a²-b²c² + d² L=(-3)²-5²-(-8)² + (−1)² Attention, un carré est toujours positifs. Par exemple (-3)² = (-3) × (-3) = 9 L 9-25-64+1 L=10-89 L=-79 PROPRIÉTÉ : Pour diviser deux nombres relatifs non nuls: On divise les distances à zéro; pour le signe on applique la règle suivante : - si les deux facteurs sont de même signe alors le quotient est positif; - si les deux facteurs sont de signes contraires alors le quotient est negatif. Nombres relatifs VII Il s'agit de la même règle que pour le produit des nombres relatifs. Dans une expression, les multiplications et les divisions sont prioritaires! B (+56) + (-8) Quatrième QUOTIENT DES NOMBRES RELATIFS Calculer des quotients de nombres relatifs en tenant compte des priorités opératoires Calculer, en détaillant et sans calculatrice, les expressions suivantes : A = (-63) + (+9) C (+54)+(+6) D= (-48) ÷ (-8) E = (-100) + (+10) F = (-1) + (+1) G= H = I= J= -36 -9 72 -8 -42 1--63-56 + 8 K= -27 -9 -45 9 EXEMPLES: Z (+72)÷(+9) = (+8) Y = (-72) + (+9)= (-8) X= (+72) + (-9) = (-8) W = (-72) + (-9) = (+8) V= U= L= M = N = 0 = P = -72 72 = -9 9 -72 9 -56 -7 = 8 72 -9 -36 4 -6+24 -12 +3 72 9 -8+11-16+3 -2+7-8+3-10 = -8 3x (-7)+(-7) × (-6) (-7x5-2x (-7) 1-(-3) x 5+6 × (-3) -5-(-3) x 6+3 × (-4) EXPERT Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Calculer, en détaillant et sans calculatrice, les expressions suivantes : A = (-63) + (+9) A = -7 B = (+56) + (-8) B=-7 C = (+54)+(+6) C=9 D= (-48) + (-8) D=6 E = (-100) + (+10) E = -10 F = (-1) + (+1) F=-1 G = -36 -9 H = G=(-36) ÷ (-9) G = 4 72 -8 H = (+72) + (-8) Nombres relatifs VII - Correction Quatrième H = -9 I= J= -42 7 =-6 K= I= (-42) + (+7) -63 9 L= La division est prioritaire! J=−7+(-7) J=-14 -56 8 J = (-63)÷(+9) + (-56)÷(+8) -27 -45 + -9 9 K= 3+ (-5) K = -2 K= (-27)+(-9) + (-45) + (+9) L--56-36 -7 4 M = L=(-56)+(-7)-(-36)÷(+4) L=8-(-9) L=8+9 L=17 -6+24 A M = -12 +3 La barre de fraction est un moyen d'in- diquer les priorités opératoires. M = (-6+24) + (-12+3) 18 -9 M = -2 N= N = N = O= 0= N=1 0= P = P = P = -8+11-16+3 -2+7-8+3-10 P = N=(-8+11-16+3)+(-2+7-8+3-10) 0=-1 -24 +14 -20 +10 -10 -10 P = 3x (-7)+(-7) × (-6) (-7x5-2× (-7) -21 +42 -35+14 21 -21 1-(-3) x 5+6 × (-3) -5-(-3) x 6+3 × (-4) 1-(-15) + (-18) -5-(-18) + (-12) 1+15-18 -5+18-12 16-18 -17+18 -2 1 P= -2 PROPRIÉTÉ : a, b et k sont des nombres entiers relatifs non nuls. A = B = C= Simplifier au maximum les fractions suivantes : 15 54 25 27 16 24 35 49 32 D == 48 28 E = - axk bxk 56 Fractions I Quatrième SIMPLIFICATION DES FRACTIONS Simplifier des fractions en utilisant les critères de divisibilité = a b F= = H = I= 56 72 72 18 81 9 98 J== 70 EXEMPLES: Z= Z= 15 35 5x 3 5x7 Z= Y = Y = 128 112 2 x 64 Y = 2 × 56 64 Y == 56 8x8 8x7 Y = 8 K= L= N = 162 144 144 M = 128 O= 168 192 112 126 256 384 SOCLE COMMUN X = X = X = 49 7x7 1x7 X = 7 Fractions I Correction Quatrième Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Simplifier au maximum les fractions suivantes : A = A = A = B = B = B= B = B = B = B= C= Alternative: 4 x 4 4x6 C= 15 25 D= 5x3 5x5 D= 16 3 24 2x2 2x3 Alternative: 2x8 8 2 x 12 12 D = 8×2 8x3 D= 2 3 2x4 4 = 2x6 6 D= 35 49 7x5 7x7 32 48 = 16x2 16 x 3 4 6 Alternative: 8x4 4 8x6 6 2x2 2x3 Alternative: D= D= D= D= E = E = Alternative: 2 x 16 2 x 24 E= E= E= 4x8 8 4 x 12 12 E= 4x2 4 x 3 E = E = 28 56 7x4 7x8 4 8 2x8 8 2 x 12 12 4x1 4x2 = = 1 2 2/3 Alternative: 16 24 2 x 14 14 2 x 28 28 2x7 7 = 2 x 14 14 7x1 1 7x2 2 F= F = F= F= F = G= G= F = 2 H = H = 54 27 9x6 9×3 6 3 I= 3x2 3 x 1 G= I = 72 8x7 8x9 7 9 ni 18 8 H= 9×8 9x2 H = 4 1919 81 9 9x9 9x1 I=9 J= J= J= J= K= K= L= 98 70 2 x 49 2 x 35 K= L= L= K= L= 49 35 7x7 5x7 L= L= 162 144 2 x 81 2 x 72 81 72 9x9 8×9 9 168 192 2 x 84 2 × 96 L= 84 96 2 x 42 2 x 48 42 48 6x7 6x8 7 M = M = M = M = N= N = M = N= N= = O= = 0= 0= !! 0= 0= 144 128 2 x 72 2 × 64 72 64 8x9 8x8 | 9 2012 112 126 2 x 56 2 x 63 56 63 0= 7x8 7x9 8 256 384 2 x 128 2 x 192 128 192 2 x 64 2 × 96 64 96 2 x 32 2 x 48 32 48 16 x 2 16 x 3 PROPRIÉTÉ : a, b et c sont des nombres entiers relatifs non nul. A = 7 7 11 17 B=|-| 5 5 C= 24 7 8 + 15 15 15 D = 1 + E = 3+ Effectuer puis simplifier au maximum le résultat obtenu : 5 8 -1 2 -5 3 11 4 Fractions II Quatrième SOMME DE FRACTIONS Effectuer la somme de fractions ayant le même dénominateur a b C C 5 19 11 11 a+b F= + 3 G=7+ H = I= 5- J=7- 8 9 5 EXEMPLES: 4 8 9 3 Z==+ 9 Z= Z= 1 9 12 9 4 x 3 3 x 3 Z=- -3 4 3 -11 -3 7 7 7 3 -5 -3 + -8 -8 8 Y = 6 11 L X=3+ 3/20 X = SOCLE COMMUN P = X = 12 5 ~4 K = ( 2 - ¹ ) - ( ²2²2 + 2/1 + ²) =3-(1-3) - (2-=-²/3) 4 M=1-1-(1- ) - 11/ + N = (²---3-²)-(3²-33) 7 -8 -23-22 11 -11 11 13 -11 A Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Effectuer puis simplifier au maximum le résultat obtenu : A = A= B = B= D= 5 8 77 13 E = D= E= D = 1+ D=1X4+1 11 4 11 F= F= E = F = 5 5 x 3 E = 3+ 15 4 + 5 11 3 x 11 -x+ 33 11 17 + 19 F=2 7 15 19 + 11 11 11 19 11 6 F= 5 8 15 5 11 19 11 -1+2-(-5) 3 -1+2+5 3 Fractions II - Correction Quatrième G=7+ G= G= 7+² G= H = H = H = H = H= I= I= I= 8 1 99 8- 9x1 H= 79 7 9 70 9 63 7 + 9 9 9 1-3 5 5 -(-1)-3 3 5 1 3x5 5 1x5 -2 15 5 5 -2-15 5 1-5-3-3 24 3 -17 5 11 5x7 3 11 3 1x7] 7 7 7 35 3 11 3 7 7 7 J=7- 7 3 5 3 I= + -- 1 8 8 8 J= J= K= K= K= 7x8 1x8 K= L= 56 3 5 3 8 8 8 8 44 2 2 -5 -3 + -8 -8 8 51 L= L= L= ∞ 10 24 L=3-(1-1)-(2-3) L= - ³x 8-(²-7)-(²x 8-=-32) 3 8 L-²-1-(6-3) 8 8 16 L-2-(4-3) 8 23 11 L-2-H L= 5 3 8 8 4 x 3 5 8 + M = 1- 1- [1 - ( 1₁ - 9 )) - - - / M=1-1-(-9) - 11/12 M=1-1--| ||- / M-1--| |--- M=737-47+ 7/7/2 12 M = 7 N = (²-3)-(3-3) N = N = N = P= 4 -3 =-2-2-² P= 0 P=. 3 7 11 11 + 9 11 7 + 8 11 -8 13 + 11 -11 13 11 PROPRIÉTÉ : a, b et c sont des nombres entiers relatifs non nul. B= C= D= 9 3 4 8 11 == -1/3 5 15 E = Fractions III Quatrième SOMME DE FRACTIONS Effectuer la somme de fractions ayant des dénominateurs différents dont l'un est le multiple de l'autre 3 9 7 14 Effectuer puis simplifier au maximum le résultat obtenu : 5 2 5 7 A==+6 F=3−²+² 3 a b a+b +== с 11 3 5 + 8 4 8 G= EXEMPLES: I=1- 9 J= 6 2=1/4+ Z Z= Z= 11 G-20+5 9 3 5 H=22-1-7 7 11 5 25 Z= 11 7 13 + 9 3 27 6x3 11 + 4 x 3 12 18 11 + 12 12 29 11 12 3112 12 K= 2 3 M = 0= L=5- 1 3 Y-3--+: 1 5 48 8 Y = 610 Y = N=4-1 3x8 8 Y= 3 2 24 + 8 8 8 7 14 + 6 18 27 8 1 4 36 7 15 + 16 -7+ 2 519 E 1x2 4x2 8 5 17 18 11 37 3 20 + 7 14 42 21 SOCLE COMMUN L 100 11 13 71 18 36 72 5 Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Effectuer puis simplifier au maximum le résultat obtenu : 5 7 A=1/3+2/201 36 A = A = A = B= B = B = 5x2 3×2 6 C= 10 C = B = 6 17 6 9×2 4x2 9 3 4 8 18 3 8 8 C= 15 8 3 9 C = =+14 + 76 15 9 3x2 + 7x2 14 N 14 776 6 9 + 14 14 3 8 Fractions III - Correction Quatrième D= D= D= D= D= E= E = E = 11 13 5 15 D= E = 11 x 3 5x3 33 13 15 15 E = 20 15 5x4 3x5 11 8 11 8 11 8 22 E == 8 11 4 3 5 4 8 13 15 3x2 5 + 4x2 60 100 5180 8 11 x 2 2x4 8 F = 3- F= F= F= G= G= G= G= G H = 3-5/3 + ²/12 H = 27 9 H = 3 5×3 2 1 3×3 3x9 15 2 + 1x9 9 9 14 9 20 9 20 9 20 9 20 9 32 5-12 5-12 H = H=- 15 + 9 9 11 3 50 6 11 x 3 3 x 3 2 4 +5 33 5x9 + 9 1x9 33 45 + 9 9 5 21 12 12 100 12 -7 7x3 7x 12 1 x 12 4x3 5 84 12 PROPRIÉTÉ : a, b et c sont des nombres entiers relatifs non nul. A=+ B = 3180 E = NIT c=1/4+1/3 C= 6 5 SI 17 11 D=17-12 7 6 5 Effectuer puis simplifier au maximum le résultat obtenu : 5 11 2 5 5 11 + 18 3 Fractions IV Quatrième SOMME DE FRACTIONS Effectuer la somme de fractions ayant des dénominateurs différents a b a+b + C C C F=2--+ 5 556 I= 4+ EXEMPLES: J= Z==+ Z= 5 11 G = 2 + 1 - 4 1 3 H=3--+ 3 4 7 + 12 15 Z= + 4 8 5 8 3 15 Z= 9 11 10 4x5 8 + 3 x 5 15 20 8 15 15 5 8 2 14 21 7 28 15 K= L=1- N = Y = Y = 2 Y = Y = 3 5 13 4 7 3 6 13 10 0=3- 5x7 4x7 35 52 28 28 3 -17 28 M = 3+ -- 1 4 6 5 7 1 13 x 4 7x4 9 6 18 1 1 4 1 5 6 56 63 81 64 72 54 ÉVALUATION A A = Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Effectuer puis simplifier au maximum le résultat obtenu : A = A = B = B = B = C= D= E = E= E= 5 B = E= 3 E= 5x4 11 x 3 + 3x4 4x3 20 33 12 12 C= 1 + 1/3 53 12 8x7 2x5 5x7 7x5 56 10 35 35 46 35 11 4 NIN 11 x 5 6x5 6 17 11 7 6 E = + 5 5 11 86 18 13 x 6 5x6 5 x 3 5 11 x 6 6x3 18 3x6 + + 43 9 D 15 5 66 + 18 18 + 18 43 x 2 9x2 + 18 3 Fractions IV- F=2- + F = F= F= G= G= G==+4 H= H= H = G= 2 × 30 30 I= H=3 I= 60 12 25 30 30 30 I= 73 30 5 11 5 H = 2 5 I= 5 6 5x4 2x4 4x2 20 22 5 8 8 I=4+ 4 37 8 1 3 x 12 1 x 12 3 1x4 1 3x4 + + 41 12 2x6 5x6 168 42 1 3 L00 36 4 9 + 12 12 12 4 x 42 1 x 42 11 x 2 5 8 155 42 + + 3 x 3 5 8 2 14 21 7 5x5 6x5 4 x 3 9 4 12 12 J 5x3 8x2 143 21 x 2 15 16 12 42 42 42 15 16 12 42 42 42 Quatrième sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. 2x6 7x6 Correction J= + J= J= J= J= 7 9 11 12 15 10 7x5 9x4 11 x 6 12 x 5 15x4 10 x 6 35 36 66 60 60 60 5 60 J= K= 1x5 5 x 12 K= L= L= 1 12 3 7 5 K=-- 47 K= 70 6 3 x 10 7 x 10 L=1- L= + 30 84 12 12 91 + 70 70 70 + 13 10 6 x 14 5 x 14 12 4 12 12 1 1 3 4 6 1x4 3x4 13 x 7 10 x 7 1x3 1x2 4x3 6x2 + 3 2 12 12 M = 3+ M = M = M= M = N= N= N= M = |N= 3x18 5x2 7×3 1 18 9x2 6x3 18 54 18 42 18 7x6 3x6 1 x 30 2x30 0= الاس | 0= 73 1 2 O 0=3- 0=3- 23 60 0=3- 0=3- 0=3- 5 7 1 96 18 1 3 2 0= 4 1x 20 3x 20 15 12 10 30 20 60 30 60 60 60 + --+ 10 21 18 18 + 14 3 x 3 0=3- + 8 2 x 3 1 4 7 3x4 4 56 63 81 64 72 54 3 7 1 1 + 5 7 7 9 8 8 6 3 + 4 2 1 x 15 1 x 12 4x15 5x12 7x8 7x9 9x9 8x8 8x9 6x9 2x7 3 + 2×4 2 1 18 6 6 4 4 1 x 10 6x10 + 7 3×2 + 4 2x2 PROPRIÉTÉ : a, b et c sont des nombres entiers relatifs non nul. A = 1+ Fractions V Quatrième SOMME DE FRACTIONS Effectuer des sommes algébriques complexes de fractions en tenant compte des priorités opératoires C = 5- B= (²-2) + ( + ) D= 5 5 3 a b a+b + C с 7 5 11 + 12 18 24 C EXEMPLES: 4 8 Z==+ Z= 3 15 Effectuer puis simplifier au maximum le résultat obtenu : 11 1 1 2 3 4 5 E = (2-²)-(³-3) 4x5 8 3 x 5 15 20 8 15 15 Z= + Z= 28 15 + F = (²-3 + -)-(²+² -¹1) G=(1-²) + (2 + ³) + 2/ H=3-(3-3) -¹ + (1 - 2 + 3 ) Y = I= Y = Y = 5 4 13 7 5x7 4x7 Y = 35 52 28 28 13 x 4 7x4 -17 28 ¹-(-+)-(¹-++) 1 = ( 5 - ² + 1)-(2-³) J= EXPERT K=1-1-(1-³)-1|- L=-11-(6-3) ]-[1-(5-7) A 1+ Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Effectuer puis simplifier au maximum le résultat obtenu : A = A= A: B= B= B= C= C= B= C: C=5 D= B= = (3x4-5X3)+(3×4+3×3) 8 B-(2-2) (+) B= 13 D= D= D E= E= 1 x 60 E= E= E= 1 x 60 60 30 20 60 60 60 12 E= 12 1 1 1 1 3 4 5 75 15 1 x 30 2 × 30 55 3 7 5 11 12 18 24 7x6 5x4 12 x 6 18 x 4 42 20 33 72 55 - (²x4-2)-(³×3-3) -(-3)-(-3) E= 1 × 20 5 x 15 3x3 5x5 5x3 3x5 25 15 3 × 20 12 60 15 60 5x3 5x4 4x3 3x4 15 20 12 12 11 x 3 24 x 3 1 x 15 4x 15 Fractions V- 1 x 12 5 x 12 F= F= F= = (²³² – F= F= F= G= F= G= G= G= 3 -1-16 ) - ( ²3 + ²/2 - 1) 1x3 2 x 10 3 x 10 20 3 30 30 30 1 17 30 12 = G=(1-²) + (2 + ³) + ²/ G= ( 3² - 3 ) + ( + ³) + ²2 3 1 11 3 34 2 1x4 11x3 3×6 3x4 4x3 2x6 4 33 18 12 12 12 55 (3x6 5x6 H=3- H = H= 30 × 2 2 60 H=3- 1x2 H=3- I= I= H=3- I= -83 60 H= I= (3x3 5x3 9 9 (1/25 - 2²/53) - ¹ + ( 6 - ² + 1 ) -16 1 -1- 15 6 3 16 1 1 H=+ 1 15 1 6 3x30 16×2 30 1x5 15 x 2 30 6x5 32 30 5 1 x 30 90 30 30 30 30 2 97 30 85 60 - ( ³3 - 3) - ¹ + (1 - ²/2 + 1/3) 17 x 5 12 x 5 Quatrième sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. 12 2x6 5x51 3x5, 2x4 1x3 + 3x4 4x3 8 3 Correction + ²) - (1 - ² + ² ) + 5x2)-(-1/21 - 12 9 (22-2-2-2-2-2-2-2 12 12 12 12 (5x4 3x4 -1. 3x3 3x3 1 x 12 4 x 3 3x3 4x3 J= 1= (₁ - -/- + 8 ) - ( ²1 - 3) (5x63 3x9 + 8×7)-(-1-³27) 3x21 T= J= J= J= J= J= K=1- 344 63 344 K=1- 63 396 K=1-1-(1-³)-¹] - K=1-¹-(-³) -¹ - ³- 5 K=1-1-1-1-3 4 14 K= 63 9 x 44 9x7 K= 1+ K= K= 315 27 56 63 L= L= L= L= L= -52 21 52 12 = 73-11/20 L= 4--¹-(6-³) -¹-(³-7) ¹-3-¹-(-³) -1-(518) 5 10 Im 1 5 4 3 12 1x3 5x4 ¹-3 -[¹-(8-³7)]-[¹-(28–73) 9x7 63 )-(-93) 12 4x3 3x4 3 20 12 12 ------- 41 |- 뷔 19 513 7 28 3 9 7 28 55 3 9 18 28×2 55 3x6 9x2 7x6 42 56 55 18 18 18 55 18 ∞ ¹₁ 73 18 73118 90 PROPRIÉTÉ : a, b, c et d sont des nombres entiers relatifs non nul. B = 7 Effectuer puis simplifier au maximum le résultat obtenu : 2 5 15 4 A=3x7 16 5 611 Il faut penser à simplifier avant d'effectuer le produit! 4 11 3 7 c=21/0x1/2 C= 4 Fractions VI Quatrième PRODUIT DE FRACTIONS Effectuer et simplifier un produit de fractions a C axc X== b d bxd 74 10 7 E = X 3 F= 16 45 =160x450 8 G==x H = I= 36 35 49 54 ज X 8 7 4 X 20 21 EXEMPLES: 4 5 Z=-x Z= 3 7 Y = 4x5 3x7 20 21 Z== 48 63 X 49 64 = K= 64 81 X 63 56 L=3× M = Y = Y= 112 98 X 49 56 Y = 259 56 64 81 63 25 6x8x7x9 7x7x8x8 6×9 7x8 Y = 2×3×9 7x2x4 ÉVALUATION 27 28 72 96 A A Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Effectuer puis simplifier au maximum le résultat obtenu : A = A = B = C= B = E = E = C= 2 E = F= 7 F= 9 F= 10 21 E = A = 28 99 3 B = 5 F= 21 40 C: 4 11 10 x 7 3x4 2x5 3x7 10 7 X Il faut penser à simplifier avant de multi- plier. 35 6 7 E= 7x4 9x11 4 2x5x7 3x2x2 3x7 10 x 4 4 15 x 4 16 x 5 5x7 3x2 15 4 16 5 Fractions VI - Correction Quatrième 5x3x4 4×4×5 G= X- G= G= G= H = H = H= G=6 H = 36 35 H= X 49 I= I=- I= 16 45 J= J= 15 8 614 I = J= 16 x 45 15 x 8 8x2x15x3 15x8x1 H = 36 x 35 49 × 54 J= 6x6x7x5 7x7x6x9 6x5 7x9 3x2x5 7x3x3 7 4 20 21 54 10 7 7x4 20 × 21 7x4x1 4x5x7x3 1 15 64 81 X 63 56 64 x 81 63 x 56 8×8×9×9 9x7x8x7 72 49 K= K= K= L= En remarquant que 56 x 2 = 112 et que 49 x 2 = 98 on arrive rapidement à la bonne réponse: L= K=4 L= 112 49 L= M = 259 4 25 M = 2x5x9 3 x 4 x 25 M = 112 x 98 49 × 56 2x5×3×3 3x2x2x5x5 M = X 56 × 2 × 49 × 2 49 × 56 M = 98 56 3 10 56 64 72 81 63 96 56 × 64 × 72 81 x 63 x 96 8x7x8x8x8x9 9x9x9x7x8x12 64 x 8 81 x 12 M = 64 × 4 × 2 81x4x3 128 81 PROPRIÉTÉ : a, b, c et d des nombres relatis non nuls, A = B = C = 3 5 15 7 7 1 5 5 3 335 Fractions VII Quatrième - Troisième EXPRESSIONS COMPLEXES ET FRACTIONS Calculer des expressions complexes mettant en jeu sommes, produits et priorités opératoires 117 دن اجر Dans une succession d'additions, de soustractions et de multi- plications, les multiplications sont prioritaires. Les parenthèses indiquent la priorité de certaines opérations. a b Effectuer puis simplifier au maximum le résultat obtenu : 1 7 7 5 1 4 7 D=3*25*3 the che -+- с C a a+b C с axc = b d bxd 3 3 15 X E= 5 5 9 F= G=(1-3) (²-3) H = ( ²7-¹1) (2-³/) EXEMPLES: Z= Z= Z= Z= 4 3 4 3 Z= 4 8 21 3 4x7 3 x 7 28 21 X 20 21 557 20 21 20 21 L= 5- Y = (1-3)(²+3) Y = 7132 Y = Y 1 = (1 - 1/2 + ²) (₁ - 1) 9 K=1-1-(1-³-3) -1 5 EXPERT (6 15-(2-3) A 9 Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Effectuer puis simplifier au maximum le résultat obtenu : A= A = A= B= A = 0 B= B= B= B= C= D= D= D= B= D D= E= E = E= 1 7 7 3 5 15 1x7 7 3x5 15 7 7 15 15 E= 75574 E= 5 7 5 15 7 5 3 7 7x1 ++ XXX 7x3 7 5x3 15 21 7 15 15 14 3 5x 3 7 15 3x4 مرادی - | 1 1 3 31 30 3 5 28 6 15 5x5 6x5 25 56 30 30 5 4 7 5 3 28 x 2 15 x 2 3 3 15 5 5 9 3 3 x 15 5 5×3×3 3 3 5 3 3 E= 1 5 3 5 5 5x9 3 3x3x5 Fractions VII - Correction Quatrième - Troisième F= - (²2/2 + 12) (²2-²7) 25 -7 F= F= G= = (1-3) (1 - 1) =(5x5-3X6)(²X4-1X3) (4 G= G= G= G= G=- H= 30 175 144 H= + = (-/- - ¹) (² - -/-) H= 17 1 30 12 17 x 1 30 x 12 H=- --4×(4-7) 4 9 7 I= H=-=X H=- I= 17 360 4x9 7x7 I= 1 = (₁ - 1/2 + 1/ 3) (5 - 12 ) − ( 6 - 2 + ² ) ( ²8 - -/-) 5 19 6 95 24 36 49 J= JE J= J = TE J = 55 18 55 18 55 x 4 K=1- 18 x 4 220 72 301 72 -1 K=1-1-(1-³-³) - K=1-1-(1-3x3-5x5)-1 =¹-1-(1/5 - 2²/5-²5)-1 K=1- K=1-¹-(-3) = 1- [1 + 1/3 - K= 1- K= L= K=1- L= L= 9 8 -(15+)-1 15 3 3 9x9 8x9 81 72 15 L=- 34 15 L=(5-3) - ³3 × 15-(2-3) 9 3 x 15 - (5x3- -3). 1 - 1) --3)- 8 5 4 3 3 3 -1 -- (²x³-3) 5x9 3x5x5 5x3x3 OWO PROPRIÉTÉ : Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse. L'inverse de la fraction A = B = 2/3 Effectuer puis simplifier au maximum le résultat obtenu : 57 3 4 27 E= 775 PIN 9 c = +/- +/ 48 36 D = ÷ 49 28 a 27/ 56 64 81 63 Fractions VIII Quatrième - Troisième QUOTIENT DE FRACTIONS Effectuer et simplifier un quotient de fractions est la fraction a C a d b d b a F = G= H = 5 3 763 5 5 w | 0 w 100 1111 3 4 4 5 I==+=- EXEMPLES: Z= Z= 898 16 X 3 16 9 Y = Z= Y = 4 5 4 7 3 5 28 15 587 9 9 5 10 59 3 8 7 5 9 10 J= Y = L= Y = Y = Y = 5x9 3x8 5x3x3 3 x 8 Y= 15 14 8 9 1 3 7x10 5x9 7 K = ( ³ + ³) + (²1 + 3) 3 +9 EXPERT 7x5x2 5x9 M = (1 - 3 + 7) + (1 - ² + ³ ) 4 Correction Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Effectuer puis simplifier au maximum le résultat obtenu : A= A= A= B= B= B= = }}+; C= B = D= 2 7 D= D= 2x4 D= C= D 4 7 C= c=2x² 7 11 9 9 7 x 11 5x9 77 45 11 11 x 7 7x2 48 36 49 28 48 28 49 36 48 x 28 49 × 36 48 63 48 x 7 x 4 7x7x9x4 Fractions VIII (I) E= 56 E == E= E= F= F= F= E = F= F= F= F= G= G= G= 56 64 81 63 G= 63 81 64 G= G= 56 x 63 81 x 64 7x8x7x9 9x9x8x8 F= 49 5 5 4 3 3 7 5 5x4 3 3x7 5x7 20 3x7 21 35 5 7 3 4 15 21 3x5 5 3 6 20 21 35 3 18 5 G= 7x5 3 3x6 5 35 x 5 18 x 5 3 111 90 5 165 54 90 90 3 x 18 5×18 Quatrième - Troisième H= H= I= H = 0 I= I= I: I= I= I= J= J= J= J= 8 9 3 16 3 J= 8 3 1 3 1 4 3 1 1x4 3x1 4 5 3 4 4x4 3x4 16 12 5 J= +5- 3 1 4 1 12 9 8 16 3 5x1 3x5 J= 1 7 3 9 41 45 15 12 + 1 x 15 3 x 15 8 16 9 5 1 7 1 = 3 5 3 3 4 5 1 5 4 1 1 x 5 4x1 5x3 4x3 +3- 7x1 3x3 1 5 15 35 9 45 45 7x5 9x5 9 16 5 +9 9 1 = 5 9 9x1 5x 9 1x9 5x9 K= *-(-)-(-) K: K K= K= K= K= L= L= 4 4 5 3 L = ² + ( ² + 7) + ² L= 4x4 5x3 L= 3 5 L== 16 Il faut faire les opérations dans l'ordre, de la gauche vers la droite... 3 7 3 M= 5 3 7 M= 3x4 3x7x3 5x3x7 3 3 M= 1 = (1 - ²3 + 7) + (¹ - ² + 3 ) M-(1)-(²) M-(1-5)+(1-7) - (2²/17 - 291)+(²0- M = 21/1 M= M= =11x²02 M = 3 1 × 20 21 x-1 PROPRIÉTÉ : a, b, c et d des nombres relatifs non nuls, A = B = C= 1+ 113113 Fractions IX Troisième - Seconde EXPRESSIONS TRÈS COMPLEXES ET FRACTIONS Calculer et réduire des expressions très difficiles mettant en jeu toutes les opérations sur les fractions 3 4 a b 314514 -15-16 с d b C с d = Dans une succession d'opérations, les multiplications sont prioritaires. = Effectuer puis simplifier au maximum le résultat obtenu : = a b a+b с axc bxd a d C D= (²+5)(1-3) -1 E = (3-3 × ²) - (²-3 × 7) F= SISTIT 9 25 1 8 - X 4 3 5w30 EXEMPLES: Z= 1+ Z= z=(1-3) + (¹ + ³) 2 A G= H = 1+ I=1- 1+ 3 1 1+ 2 5- 4 7 Z= Z= 2=3+ 56 3 5 6 15 1 Z= 8 HORS CATÉGORIE 513 X 1 x 3 3x5 3 -4 Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Effectuer puis simplifier au maximum le résultat obtenu : A= A: A = A = A= A = A= A=7 B= B= B= B: B= B= B= C= C= C= C= 7 1 C= C: 1x4 1x3 3x4 B== 1 12 -2-2-2 1227 1 12 1 x 12 12 x 7 3 31123_12 **888=1858-18 x3 4x3 4 5 3x5 1x4 4x5 5x4 5x5 1x4 5x4 20 11 x 20 20 x 21 Fractions IX - Correction Troisième - Seconde = (²-2 + 5) (1 - ² ) - 1 D= D= D= D= D= D= 60 60 60 57 D = 60 D=- E = D=- E= E= 3 x 1 E=- = (- - ³ × ²/5 ) + ( ²1 - 13 × 7 ) 3 x 25 E= = ( ³² - ³×²5) + ( ²3 - ²×7) 5x9 F= 20 3x1 20 × 3 3 3x5x5) E= = (³-³×5×5)+(²-72) 5x3x3 E= E= = (³-3) + (²×4-72) = (³x3-5x5) + ( 1²2-72) ( 1²/3-²/3) +- 12/22 E= 16 3 15 3x4 F= F= E = F= F= F= 3 x 19 3 x 20 19 20 99998639 16 1 15 4 16 x 4 5 16 -4 15 x 1 15 1 64 15 3 5 1 4 4 3 5 5x9 XXX 4 5 3 4 4x3 5 2 4 3 25 3 x 25 1x8 12 25 13001 4x3 5x3x3 3x5x5 1x4x2 4 x 3 5x5 3x3 5x3 | 39-15 8-12 1 2x4 3x4 F= F= F= F= F=- F= G= G= G= G= G G= G= 16 12 G= 16 x 12 15 x 5 - (-1/2-1/2)² - 3 - 4 - (+/-)²³ - 16x3 x4 3x5x5 16 x 4 x5x5 64 25 3 x 3 4x3 = 17/12/12 - 1 144 1 144 H= H=1+ H= H = 1+ 863 144 H=1+ 12 H=1+ H=1+3 312 H=1+1x -2-4 22 H=1+1+1 5 6x144 144 864 144 MIN NIM -6 5x6 3x5 4 I=1- I=1- I=1- I=1- I=1- I=1- I=1- I=1- I=1- I=1- I=1- I=1- I=1- I=1- I= 3- 3- I= 3- 3- 3- 3- 3 3- I= 1-2x 3 5 5- 442 443 1 443 2 5- 2 663 221 2 443 221 2 275 55 221 2 55- 2 2 221 443 2 3-4x 2 220 221 2 3 x 221 221 2 443 442 443 443 6 7x9 8 9 5-6x 2 4 5x55 6x9 55 6 4 63 8 9 9 4 4 6 9 4 55 221 6 9 55 220 221 54 55 220 221 OKXXO Pour n>2, 10" = 10 ... 0 n zéros PROPRIÉTÉ : a un nombre quelconque et n un entier positif 10¹ 10 et 10⁰ = 1 Pour n un entier positif, 10-" = 10" est l'inverse de 10" Ainsi 10™" = 0,... 1 en nième position B = 10¹ C = 10³ D = 106 E = 10⁹ DÉFINITION DES PUISSANCES DE 10 Utiliser et comprendre la définition de la notation puissance Écrire les nombres suivants sous forme décimale ou sous forme de puissance de 10 A = 10⁰ G= 10-1 F = 10¹2 1 10n H = 10-2 I= 10-3 Puissances I Quatrième J = 10-6 K = 10-9 L = 10-12 EXEMPLES: L'écriture décimale de 105 est 100000 L'écriture décimale de 10-5 est 0,00001 L'écriture en puissance de 10 de 1 000 000 000 est 10⁹ L'écriture en puissance de 10 de 0,000 000 001 est 10-⁹ M = 100 N = 0,01 0=10000 P = 0,0001 Q = 10000000 R = 0,00000001 S = 100000 SOCLE COMMUN T= 0,000 000 1 U = 0,00001 V = 100000000000 W = 0,000 000 000 000 01 X = 10000 000 000 000 000 Puissances I-Correction Quatrième Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Écrire les nombres suivants sous forme décimale ou sous forme de puissance de 10 A = 10⁰ A = 1 B = 10¹ B = 10 C = 10³ C = 1000 D=106 D = 1000000 E = 10⁹ E = 1000000 000 F = 10¹2 F = 1000000000000 G= 10-1 G=0,1 H = 10-² H = 0,01 I=10-3 I = 0,001 J = 10-6 = 0,000001 K = 10-9 K = 0,000 000 001 L = 10-12 L = 0,000 000 000 001 M = 100 M = 10² N = 0,01 N=10-2 O = 10000 0 = 10¹ P = 0,0001 P = 10-4 Q = 10000000 Q=107 R= 0,00000001 R=10-8 S = 100000 S = 105 T = 0,000000 1 T= 10-7 U = 0,00001 U=10-5 V = 100000000000 V = 10¹1 W = 0,000 000 000 000 01 W = 10-14 X = 10000 000 000 000 000 X=1016 PROPRIÉTÉ : Pour n et m deux entiers relatifs B = 104 x 10³ C= 105 x 107 D 106 x 10-3 E = 107 x 10-6 PRODUIT DE PUISSANCES DE 10 Calculer le produit de puissances de 10 en utilisant la formule F = 10-7 x 105 Puissances II Quatrième 10" x 10m 10n+m Écrire les nombres suivants sous forme de puissance de 10 puis sous forme décimale A = 10² x 10³ G = 10-6 x 109 EXEMPLES: Z=10³ x 107 Z=103+7 Z=10¹0 Z= 10000000000 H 10 3 x 10-6 I= 104 x 10-7 J= 106 x 10¹1 x 10³ K= 108 x 10-7 × 10² Y = 10-3 x 10-7 Y = 10(-3)+(-7) Y = 10-10 Y = 0,000 000 000 1 L 105 x 10-3 x 10-7 SOCLE COMMUN X = 10-5 × 10³ X = 10-5+3 X = 10-² X = 0,01 M = 10000 x 100000 N = 100 000 000 x 0,000 000 001 O = 1000000 x 0,000 000 1 P = 0,000 000 00001 x 1 000 000 000 Q = 0,00001 x 10000000 x 0,000 01 R = 0,00000001 × 0,00001 × 1000000 Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Écrire les nombres suivants sous forme de puissance de 10 puis sous forme décimale A = 10² x 10³ F = 10-7 x 105 K= 108 x 10-7 × 10² A = 102+3 A = 105 A = 100000 B = 104 x 103 B = 104+3 B = 107 B = 10000000 C=105 x 107 C = 105+7 C=10¹2 C = 1000000000000 D=106 x 10-3 D=106+(-3) D=10³ D = 1000 Puissances II - Correction Quatrième E = 107 x 10-6 E = 107+(-6) E = 10¹ E = 10 F = 10-7+5 F = 10-2 F = 100 G= 10-6 x 109 G=10-6+9 G=10³ G = 1000 H 10-3 x 10-6 H = 10-3+(-6) H=10-9 H = 0,000000001 I= 10-4 x 10-7 I= 10-4+(-7) I= 10-11 I = 0,00000000001 J = 106 x 10¹1 × 10³ J = 106+11+3 = 1020 = 100 000 000 000 000 000 000 K=108+(-7)+2 K = 10³ K = 1000 L= 105 x 10-3 x 10-7 L=105+(-3)+(-7) L=10-5 L= 0,00001 M = 10000 × 100000 M = 104 x 105 M = 104+5 M=109 M = 1000 000 000 N 100 000 000 0,000 000 001 N = 108 x 10-9 = N = 108+(-9) N = 10-1 N = 0,1 X 0= 1000000 × 0,000000 1 0= 106 x 10-7 0=106+(-7) 0= 10-¹ 0=0,1 P 1 000 000 000 = 0,000 000 00001 × P = 10-11 x 10⁹ P= 10-11+9 P = 10-² P = 0,01 Q = 0,00001 × 10000000 × 0,000 01 Q=105 x 107 x 10-5 Q=10-5+7-5 Q=10-3 Q = 0,001 R = 0,00000001x0,00001× 1 000 000 R = 10-8 x 105 x 106 R=10-8-5+6 R=10-7 R=0,000 000 1 PROPRIÉTÉ : Pour n et m deux entiers relatifs A = B = C= D= E = 104 103 105 107 10-3 10-6 Écrire les nombres suivants sous forme de puissance de 10 puis sous forme décimale 108 10-7 10-4 10-7 10" 10m 10-6 1011 Puissances III Quatrième QUOTIENT DE PUISSANCES DE 10 Calculer le quotient de puissances de 10 en utilisant la formule = 10"-m EXEMPLES: 107 Z= 103 Z=107-3 Z=104 Z = 10000 F= H = I= J= 10-100 10-102 102023 102021 100000 1000 10³ 107 Y = 10³-7 Y = 10-4 Y = 0,0001 0,000 001 0,0001 Y = 10-5 X= 103 X = 10-5-3 X = 10-8 X = 0,00000001 K= L= M = N = 100 000 000 0,000 000 001 1000000 1000 SOCLE COMMUN 0,000 000 00001 1 000 000 000 10-9 W = 10-7 W = 10-9-(-7) W = 10-9+7 W = 10-² W = 0,01 0,000 000 000 001 0,000 000 000 000 000 1 Correction Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Écrire les nombres suivants sous forme de puissance de 10 puis sous forme décimale 104 10³ A = 104-3 A = 10¹ A = 10 A = 105 107 B=105-7 B= 10-2 B = 0,01 B = 10-3 10-6 C=10-3-(-6) C= 10-3+6 C=103 C = 1000 C= 10-4 10-7 D=10-4-(-7) D=10-4+7 D= D=10³ D = 1000 10-6 = 10¹1 E = 10-6-11 E = 10-17 E = 0,000 000 000 000 000 01 E 108 10-7 F=108-(-7) F = 108+7 F=1015 F = 1000 000 000 000 000 Puissances III F= 10-100 10-102 G=10-100-(-102) G=10-100+102 G=10² G=100|| 102023 H = 102021 H = 102023-2021 H = 10² H = 100 I= I= 103 I= 105-3 J= 105 I= 10² I = 100 100 000 1000 J= 10-6 10-4 J=10-6-(-4) J= 10-6+4 J= 10-2 J = 0,01 K= K= 0,000 001 0,000 1 Quatrième — 100 000 000 0,000 000 001 108 10-9 K=108-(-9) K = 108+9 K=1017 K= 100 000 000 000 000 000 L= K= 106 103 L=106-3 L=103 L=1000 1 000 000 M = N = 1000 N= 0,000 000 00001 1 000 000 000 M = 109 M = 10-11-9 M=10-20 M = 0,000 000 000 000 000 00001 10-11 0,000 000 000 001 0,000 000 000 000 000 1 10-12 10-16 N=10-12-(-16) N = 10-12+16 N=104 N = 10000 PROPRIÉTÉ : Pour net m deux entiers relatifs 10" x 10m 10n+m 10" 10m C= 106 A = x 105 103 D= Puissances IV Quatrième - Troisième OPÉRATIONS SUR LES PUISSANCES DE 10 Calculer des produits et des quotients de puissances de 10 en utilisant les formules (10") = 10nxn B 10-3 x 107 x 10-6 = 10"-m 10³ x 10-4 10-6 10-4 x 107 10-7 x 109 EXEMPLES: Z= Z= Z= 107 x 105 10³ x 10-7 107+5 Écrire les nombres suivants sous forme de puissance de 10 puis sous forme décimale E = (10³)² × (10-4)³ 103-7 10¹2 10-4 Z=10¹2-(-4) Z=10¹2+4 Z=10¹6 Z= 10000000 000 000 000 F= 108 10-4 10-7 105 H = X G=100004 x 0,000000 1³ Y= 0,0001 x 1000 000 0,000 0001 x 1000 Y= (10³)³ (10-4)² 10³ × 10³ × 10³ 10-4 x 10-4 10⁹ Y = 10-8 Y = 10⁹-(-8) Y = 109+8 Y = 10¹7 Y = 100 000 000 000 000 000 I= K= 0,00001² × 100000³ 100004 × 0,0015 J = 0,000001 x 107 × 100 000 × 10-4 L= ÉVALUATION 0,000 000 000 01 × 100000 1000000 × 0,000 000 000 1, 10³ x 10-2 x 10-6 1011 x 10-3 x 10-13 13 A Correction Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Écrire les nombres suivants sous forme de puissance de 10 puis sous forme décimale 106 103 A = 106-3 x 105 A = 10³ x 105 A = 10³+5 A = 108 A = 100 000 000 A = B 10-3 x 107 x 10-6 B=10-3+7-6 B = 10² B = 100 C= C= C= D: x 105 D= 10-6 C=10-1-(-6) C= 10-1+6 C=105 C = 100000 D= 10³ x 10-4 10-6 103-4 10-6 E= 10-1 10-4+7 10-7+9 10³ 10² D=103-2 D = 10¹ D=10 10-4 x 107 10-7 × 10⁹ Puissances IV = (10³)² x (10-4)³ E = 10³ x 10³ x 10-4 x 10-4 x 10-4 E = 10³x2 x 103× (-4) E = 106 x 10-12 E = 106-12 E = 10-6 E = 0,000001 108 10-4 F = 10-7 105 F=108-(-7) x 10-4-5 F = 108+7 x 10-9 F = 10¹5 x 10-9 F=1015-9 F=106 F = 1000000 H = G=100004 × 0,000 000 1³ X G=(104) ¹ x (10-7)³ G=104x4 x 10-7x3 G=1016x 10-21 G=1016-21 G=10-5 G= 0,00001 H = H = I= I= I= Quatrième - Troisième I= H = 10-4 H = 10³-(-4) H = 10³+4 H = 10 H= 10000000 I= X 0,0001 1000 000 0,000000 1 x 1000 10-3 x 106 10-7 × 10³ 10-3+6 10-7+3 10³ 0,00001² × 100000³ 100004 × 0,0015 (10-5)² x (105) ³ (104)4x(10-3)5 10-5x2 x 105x3 104×4 x 10-3x5 10-10 x 1015 105 1016 × 10-15 10-10+15 1016-15 I= 10¹ I= 105-1 I=104 I= 10000 J = 0,000 001 x 107 x 100 000 × 10-4 J = 10-6 × 107 x 105 × 10-4 J = 10-6+7+5-4 J=10² J=100 K= K= K= K= L= 0,000 000 00001 × 100000 1000000 × 0,000 000 000 1 3 K = (10-6-(-4))³ K = (10-6+4)³ K = (10²)³ K = 10²x3 K=106 K= 1000000 L= 10-11 x 105 106 x 10-10 10-11+5,3 106-10 10-63 10-4 10³ x 10-2 x 10-6 1011 x 10-3 x 10-13 103-2-613 1011-3-13 10-513 L= L = (10-5-(-5)) 13 L = (10-5+5) 13 L = (10⁰) ¹3 L = 100x13 L=100 L=1 13 PROPRIÉTÉ : Tout nombre décimal peut s'écrire sous forme scientifique : ax 10" - n est un entier relatif; - a est un nombre relatif; - -10 < a < -1 ou 1<a<10; ce qui signifie que sa distance à zéro est su- périeure ou égale à 1 et inférieure stricte- ment à 10. A = 2023 B = 0,2023 C = 1450 000 000 Puissances V Quatrième - Troisième L'ÉCRITURE SCIENTIFIQUE Passer de l'écriture décimale à l'écriture scientifique et réciproquement D = 0,000 000 000 878 Écrire les nombres décimaux suivants sous forme scientifique. G= 0,000 05 × 0,0007 E = 3,141592 F = 75360000 000 EXEMPLES : Z=1973 Z=1,973 x 10³ Y = 876 000 000 Y = 8,76 x 108 J= X = 0,000 000 007 654 X = 7,654 x 10-⁹ H = 0,000 000 08 × 4000000 I= 0,000 00025 × 0,0005 63 000 000 000 0,000 000 00007 K = 65 x 105 x 0,03 x 10-7 W = 0,0000003×50 000 000 000 W = 3 × 107 x 5×10¹⁰ W = 3 x 5 x 10-7 × 10¹0 W = 15 x 10-7+10 W = 1,5 x 10¹ x 10³3 W = 1,5 x 10¹+3 W = 1,5 x 104 L= 25,6 × 1011 0,32 × 10-11 M = N = EXPERT 4500 000 × 0,0000000002 0,000 000 0009 x 160000000 0,0035 x 20 000 0005 3000000³ × 0,000 000 000 002⁹ Correction Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Écrire les nombres décimaux suivants sous forme scientifique. H=3,2 x 10-1 A = 2023 A = 2,023 x 10³ B = 0,2023 B = 2,023 x 10-4 C = 1450 000 000 C= 1,45 x 10⁹ D = 0,000 000 000 878 D=8,78 x 10-10 E = 3,141592 E = 3,151592 x 10⁰ F = 75360 000 000 F = 7,536 x 10¹0 G= 0,000 05 x 0,000 7 G=5x10-5 x 7 x 10-4 G=5x7x10-5 x 10-4 G=35 x 10-5-4 G=3,5 x 10¹ x 10-9 G=3,5 x 10¹-9 G=3,5 x 10-8 Puissances V H = 0,000 000 08 × 4000000 H=8x 108 x 4×106 H=8x4 x 10-8 x 106 H=32 x 10-8+6 H=32 x 10-² H = 3,2 x 10¹ x 10-2 H = 3,2 x 10¹-2 I = 0,000000 25 × 0,0005 I= 2,5 x 107 x 5 x 10-4 I=2,5 x 5 x 10-7 x 10-4 I= 12,5 x 10-7-4 I= 1,25 x 10¹ x 10-11 I= 1,25 x 10¹-11 I=1,25 x 10-10 63 000 000 000 0,000 000 000 07 6,3 × 1010 7x 10-11 6,3 10¹0 7 10-11 J=0,7 x 10¹0-(-11) J = 7x10-¹1 x 1010+11 J = 7x10-¹ x 10²1 J = 7x10-1+21 J=7 x 1020 J= J= J== Quatrième - Troisième L= K = 65 × 105 × 0,03 × 10-7 K = 65 x 0,03 x 105 x 10-7 K = 1,95 x 105-7 K = 1,95 x 10-² L= X 25,6 x 10¹1 0,32 x 10-11 25,6 1011 M = X 0,32 10-11 L=80 x 10¹1-(-11) L=8 x 10¹ x 10¹1+11 L=8x 10¹ x 1022 L=8 x 10¹+22 L=8 x 1023 4500000 × 0,000 000 000 2 0,000 000 0009 x 160 000 000 M = M = M = M = N = N = 14,4 M = 0,625 x 10-4-(-2) N= M = 6,25 x 10¹ x 10-4+2 M = 6,25 x 10-¹ × 10² M = 6,25 x 10-1+2 M = 6,25 x 10¹ N = N = 4,5 x 106 x 2x 10-10 9x 10-10 x 1,6 × 108 4,5x2x 106 x 10-10 9x1,6x 10-10 x 108 9 x 106-10 14,4 x 10-10+8 9 N = X 10-4 N= 10-2 N= 0,0035 x 20 000 0005 3000000³ × 0,000 000 000 002⁹ (3 × 10-³)5 × (2 × 107)5 (3 × 106)³ × (2× 1012)9 X 35 × (10-³)5 × 25 × (107)5 33 × (106) ³ x 29 x (1012)⁹ 35 x 10-3x5 x 25 x 107x5 33 x 29 35 25 X 33 29 1 N= 3² x X 33 x 106x3 x 29 x 1012×9 35 x 25 10-15 × 1035 1018 x 10108 10-15+35 1018+108 1020 X X 3² 24 9 16 N = 0,5625 x 10-106 N = 5,625 x 10-1 x 10-106 N = 5,625 x 10-1-106 |N= 5,625 x 10-107 (C'est trop trop difficile) 2023 24 10126 x 1020-126 x 10-106 PROPRIÉTÉ : a, b et k des nombres kx (a+b) = kxa+kxb 7x+3x=7xx+3xx=(7+ 3) x x = 10x 7x+3 ne se réduit pas, il n'y a pas de facteur commun! - x² = -1x² 7x=7xx x = 1x 0x=0 Réduire et ordonner les expressions suivantes : A = 7x+3+2x+7+6x+9 B 7-8x+3x-8-5x-1-3x-x-1 Calcul littéral I Quatrième RÉDUCTION DES EXPRESSIONS LITTÉRALES Réduire une expression littérale C=3x²-7x-1-5x²-9+8x-3 D=11-5x²+x-6+x²-1-3+4x-1-3x E=1-y+4x-3y+6x-y-3 F=a-b+c-2b-a-c+2b-c-a-b-c A EXEMPLES: A = 3x+8x-7+9x-8-3x-9 A=(3+8+9-3)x+(-7-8-9) Cette étape ne doit pas être écrite. On obtient directement : A = 17x-24 B=3-5x² +7x-7+x-x²-2x-x+6x² −11+x² B= x² +5x-18 Il est souvent pratique d'ordonner l'expression! G=7x²-3x+6x-1+3x²-5x-3x+1 SOCLE COMMUN H=-3x+6+11x² +9x-7x²-17-6x-4x² +11 I= 5x²-5x-5+5x³-10x² - 6x + x³ - 1 J=1-x²-x+1+x+x²-3x²-2x-1+x-x² - 1 K=3x-2x²-2-2x+3x-2x²-3x-2-2-x+x-1 L=1-7x+8y-8x-7y+4x-9y-1-3x-y+x-y-1 Calcul littéral I- Correction C Quatrième Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Réduire et ordonner les expressions suivantes : A=7x+3+2x+7+6x+9 A= (7+2+6)x+(3+7+9) A = 15x + 19 B = 7-8x+3x-8-5x-1-3x-x-1 B=(-8+3-5-3-1)x+(-8-1-1) B-14x-10 On évite d'écrire-14x+(-10). On utilise la somme algébrique-14x-10. C=3x²-7x-1-5x²-9+8x-3 C=(3-5)x² + (-7+3)x+ (-1-3) On ordonne l'expression en commençant par les puissances les plus élevées de x. x² puis x puis les nombres. Une expression non ordonnée est malgré tout parfaitement juste. Ordonner une expression est facultatif. C'est cependant une bonne habitude qui facilite la comparaison des expressions et la vérification du résultat par l'enseignant. C= 2x² - 4x-4 D=11-5x²+x-6+x²−1−3+4x-1-3x D= (-5+1)x² + (1+4-3)x+ (11-6-1-3-1) D=-4x²+2x On n'écrit pas 0, 0x ou 0x² dans une expression. C'est inutile! E=1-y+4x-3y+6x-y-3 E = (-1-1)y+(4+6)x+ (1-3) E = -2y+10x-2 F = a-b+c-2b-a-c+2b-c-a-b-c F=(1-1-1) a + (-1-2+2-1)b+(1-1-1-1)c F=-a-2b-2c On n'écrit pas 1x ou-ly mais x et-y. G=7x²-3x+6x-1+3x² -5x -3x+1 G=(7+3)x² + (-3+6-5-3)x+ (−1+1) G=10x²-5x H=-3x+6+11x² +9x-7x²-17-6x-4x² +11 H=(11-7-4) x² + (-3+9-6)x+ (6-17+11) H = 0 I= 5x²-5x-5+5x³-10x² - 6x + x³ - 1 I= (5+1)x³ +(5-10)x² + (-5-6)x-1 I=6x³-5x²-11x-1 J=1-x²-x+1+x+x²-3x²-2x-1+x-x²-1 J= (-1+1-3-1)x² + (−1+1−2+1)x+ (1-1-1) J=-4x²-x-1 K=3x-2x²-2-2x+3x-2x²-3x-2-2-x+x-1 K= (-2-2)x² +(3-2+3-3-1+1)x+(-2-2-2-1) K=-4x²+x-7 L=1-7x+8y-8x-7y+4x-9y-1-3x-y+x-y-1 L=(8-7-9-1-1)y+(-7-8+4-3+1)x+1-1-1 Que ce soit des x² ou des y, cela ne change rien à la méthode... L=-12y-13x-1 Calcul littéral II Quatrième OPPOSÉ D'UNE EXPRESSION LITTÉRALE Réduire une expression littérale contenant des parenthèses et des signes moins devant les parenthèses PROPRIÉTÉ : a, b et k des nombres kx (a+b) = kxa+kxb Soustraire une expression revient à ajouter son opposé. L'opposé d'une expression littérale s'obtient en prenant l'opposé de chacun de ses termes. Réduire et ordonner les expressions suivantes : A = (5x-1)+(4x-1)+7x-3 B = (7x² + 3) + (4x² − 3x) + x² + x + 1 C=1-(4x-1)-(6x-9) - (5x+3) - 7 D= (5x²-1)-(1-3x)-(6x² -5x) + 3x E = (5x²2x+1)-(6x²-3x+1) EXEMPLES: A = 5x +3+(4x - 1) A = 5x+3+4x-1 Ici, les parenthèses sont inutiles! A = 9x+2 B= 5x (4x-1)+(6x-3) - (-3x+7) B = 5x-4x+1+6x-3+3x-7 B = 10x-9 ÉVALUATION F = 5x (5x²-1) + (2x² + x − 1) − (-3-7x+7x²) G=5 (5x-1) +3-(6x²-1)-x² - (8x+3x²)-x H = (a-b-c)-(-a+b-c)-(a-b-c)-(a+b-c) I= [1-(1-6x+3)-2] - [-(4x-3) - (5x-1)] J=x-[x-(x²-3x - 1)-(1-x)] - [1 − (6x - 1) – (1-x²)] Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Réduire et ordonner les expressions suivantes : A = (5x-1)+(4x-1)+7x-3 A = 5x-1+4x-1+7x-3 A = 16x-5 Calcul littéral II - Correction Quatrième B=(7x²+3)+(4x²-3x) + x² + x + 1 B=7x²+3+4x²-3x+x²+x+1 B = 12x² - 2x+4 On a l'habitude d'ordonner les expressions de ce type (on ap- pelle cela un polynôme), dans l'ordre décroissant des expo- sants. On écrit en premier les termes en x², puis les termes en x puis les nombres. Ordonner est facultatif... mais très pra- tique et apprécié des correcteurs. C=1-(4x-1)-(6x-9)-(5x+3) - 7 Le signe - devant la parenthèse signifie opposé de l'ex- pression. Pour calculer l'opposé d'une expression, on prend l'opposé de chaque terme. C=1-4x+1-6x+9-5x-3-7 C=-15x+1 D= (5x²-1)-(1-3x) - (6x²-5x) + 3x D=5x²-1-1+3x-6x² +5x+3x D=-x² +11x-2 E = (5x²–2x+1)-(6x²-3x+1) E = 5x² - 2x+1-6x² + 3x-1 E = -x² + x F = 5x (5x²-1) + (2x² + x − 1) −(-3-7x+7x²) F = 5x-5x² +1+2x²+x-1+3+7x-7x² F=10x² + 13x+3 G=5 (5x-1)+3-(6x²-1)-x² - (8x+3x²)-x G=5-5x+1+3-6x² +1-x²-8x-3x²-x G=-10x²15x+7 H= (a-b-c)-(-a+b-c)-(a-b-c)-(a+b-c) H = a-b-c+a-b+c-a+b+c-a-b+c H=-2b+2c I= (1-(1-6x+3)-2)-(-(4x-3) - (5x-1)) I= (1-1+6x-3-2)-(-4x+3-5x+1) I= (6x-5)-(-9x+4) I=6x-5+9x-4 I=15x-9 J=x-[x-(x²-3x - 1) – (1 − x)] - [1 − (6x − 1)-(1-x²)] J=x-[x-x²+3x+1-1+x]-[1-6x+1-1+x²] J=x-[x-x²+3x+1-1+x]-[1-6x+1-1+x²] J=x-(-x² +5x) - (x² - 6x + 1) J=xx²-5x-x² +6x-1 J=2x-1 PROPRIÉTÉ : a, b et k des nombres. A = 5(4x+7) B = 6(5x +9) Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes : C=7(4x-6) D = 9(5x-8) Calcul littéral III Quatrième DÉVELOPPEMENT ET RÉDUCTION DES EXPRESSIONS LITTÉRALES Développer et réduire une expression littérales en utilisant la distributivité simple E = 7(-4x-8) F = 8(-5x-3) kx (a + b) = kxa+kxb 1 x x = x -1xx=-1 xxx= x² xxx² = x³ G=5x(7x-5) H-6x(4x-3) I= -8x(-5-7x) J=-3(-3x-3) K=-7x(-7x+9) L-4x(5-6x) EXEMPLES: A = 7(3x + 1) A=7x3x+7x1 Il est fortement déconseillé d'écrire cette ligne. Ces calculs doivent être faits mentalement. A=21x+7 B=-4x(1-7x) B = -4x+28x² M = -5y(2-3y) N=-7z(3z-2) 0= a(a-2) P=3(5x²7x+1) Q = -5x(6x² +7x-9) R=-3z²(z-3z²+8) SOCLE COMMUN Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symboles sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes : A = 5(4x+7) A=5x4x+5×7 Le calcul ci-dessus doit être effectué mentalement. Il est vivement décon- seillé de l'écrire sur votre copie. A = 20x +35 B = 6(5x +9) B=6x5x+6×9 B = 30x + 54 C=7(4x-6) C=7x4x-7x6 C=28x-42 D = 9(5x-8) D=9x5x-9×8 D=45x-72 E = 7(-4x-8) E = 7× (-4x)-7x8 E = -29x-56 F = 8(-5x-3) Calcul littéral III - Correction Quatrième F=8× (-5x)-8×3 F=-40x-24 G=5x(7x-5) G=5xx7x-5xx5 G=35x²-25x H-6x(4x-3) H=-6x × 4x-6x× (-3) En pratique, pour effectuer -6x x 4x, on commence par déterminer le signe du produit, ici c'est négatif. Puis on ef- fectue 6 x 4 = 24 et enfin on détermine la puissance de x en effectuant xxx=x². H = -24x² +18 I= -8x(-5-7x) r I= -8xx (-5)-8xx (-7x) I=40x+56x² J=-3(-3x-3) J=-3 × (-3x) −3 × (−3) J=9x+9 K-7x(-7x+9) r K=-7xx (-7x)-7xx9 K=49x² - 63x L=-4x(5-6x) L=-4xx5-4xx (−6x) L=-20x+24x² M = -5y(2-3y) M=-5yx2-5yx (-3y) M=-10y+15y² N=-7z(3z-2) N=-7zx3z-7zx (-2) N=-21z² +14z O = a(a-2) 0=axa+ax (-2) 0=a²-2a P=3(5x²7x+1) P=3x5x² +3× (-7x) +3×1 P = 15x²-21x+3 Q=-5x(6x² +7x-9) Q=-5xx-6x²-5xx7x-5xx (-9) Q=30x³-35x² +45x R=-3z²(z-3z²+8) R=-3z² x z-3z² x (-3z²)-3z² x 8 R=-3z³ +924-24z² OXAYO Calcul littéral IV Quatrième DÉVELOPPEMENT ET RÉDUCTION DES EXPRESSIONS LITTÉRALES Développer et reduire une expression littérale complexe en utilisant la distributivité simple PROPRIÉTÉ : a, b et k des nombres kx (a + b) = kxa+kxb A = 3(4x+1)+2(5x+3) Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes : B=3(6x + 5) + 2(4x+3) C= 5(3x-6) + 6(5x-1) D=7(1-2x) + 3(1-7x) 1 x x = x - 1x x=-x xxx = x² E=3(-1-3x) + 6(-3-5x) F = 8(-2x-5)-5(5x-1) EXEMPLES: A = 5(3x + 2) + 4x(3x+3) A = 5x3x+5x2+4xx3x+4x x 3 Il est fortement déconseillé d'écrire cette ligne. Ces calculs sont à faire mentalement. A = 15x + 10 + 12x² + 12x A = 12x² +27x+10 B= 6x(5x-1)-4(1-7x) B=30x² - 6x-4+28x B=30x² +22x-4 G=4x(3x - 5) + 4x(1-x) H-6x(4x-3)-7(5x-1) I= -8x(-5-7x)-7(1-7x) + x(1-x) J= -3(-3x-3) -5(1-x)-(6x - 1) K=-7x(-7x+9) +4(3x-1)-(4x-1) + 3x L=-4x(5-6x) +2(3x+1)-x(1-x)+7(x-1) ÉVALUATION Correction Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symboles sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes : A=3(4x+1)+2(5x+3) A = 12x+3+ 10x+6 A = 22x+9 B=3(6x+5) + 2(4x+3) B = 18x+15+8x+6 B = 26x+21 C= 5(3x-6) + 6(5x-1) C= 15x-30+30x-6 C=45x-36 D=7(1-2x) + 3(1-7x) D=7-14x+3-21x D=-35x+10 E=3(-1-3x) + 6(-3-5x) E-3-9x-18-15x E = -24x-21 F= -2x-5)-5(5x-1) F-16x-40-25x+5 Calcul littéral IV Quatrième F=-41x-35 G=4x(3x-5)+4x(1-x) G= 12x² 20x+4x-4x² G=8x²-16x H = -6x(4x-3) -7(5x-1) H-24x² + 18x-35x+7 H = -24x² - 17x+7 I= -8x(-5-7x)-7(1-7x) + x(1-x) I=40x+56x² −7+49x+x-x² I=55x² +90x-7 J=-3(-3x-3)-5(1-x) - (6x-1) J=9x+9-5+5x-6x +1 = 8x+5 K=-7x(-7x+9) +4(3x-1)-(4x-1) + 3x K = 49x² - 63x + 12x-4-4x+1+3x K=49x²-52x-3 L=-4x(5-6x) +2(3x+1)-x(1-x)+7(x-1) L = -20x+24x² +6x+2=x+x² +7x-7 L=25x²-8x-5 PROPRIÉTÉ : a, b et k des nombres. kx (a+b) = kxa+kxb On obtient comme conséquence, ce qu'on appelle abusivement, la double distributivité : A = (4x+3)(6x + 2) Il est absolument inutile de retenir par coeur cette expression! Seule la méthode doit être retenue. B= (6x + 7) (3x+4) Calcul littéral V Quatrième Troisième DÉVELOPPEMENT ET RÉDUCTION DES EXPRESSIONS LITTÉRALES Développer et réduire une expression littérale en utilisant la double distributivité Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes : F = (8x 5) (7x-3) C = (9x+6) (7x+8) D= (5x-3) (4x+7) E (6x-7)(4x+9) (a + b)(c + d) = ac+ad+ bc+ bd G= (6x-3) (8.x-7) H = (1-7x)(1+7x) I= (3-6x) (4-8x) J= (-3-6x)(-5x-7) EXEMPLES : A = (5x+3)(4x+2) A = 5xx 4x+5xx2+3x4x+3x2 Cette ligne ne doit pas être écrite. Il faut faire les calculs mentalement. A = 20x² + 10x+12x+6 A=20x²+2x+6 B= (6-2x) (-3-7x) B-18-42x+6x+14x² B= 14x²-36x-18 K= (5x-6)(-6x-8) L=(-7x-8)(8-7x) M = (3x-7)(-3x-7) N = (5x-6) (-5x-6) ÉVALUATION O=(-6-4x) (1 - 9x) Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes : A= (4x+3)(6x + 2) F = (8x-5) (7x-3) A=4xx6x+4xx2+3x6x+3x2 A = 24x² +8x+18x+6 A = 24x² +26x+6 B = (6x + 7) (3x+4) B=6xx3x+6xx4+7x3x+7x4 B = 18x² +24x+21x+28 B = 18x² + 45x+28 C (9x+6) (7x+8) Calcul littéral V- Correction Quatrième Troisième C=9xx7x+9xx8+6x7x+6×8 C = 63x² +72x+42x+48 C= 63x² + 114x +48 D= (5x-3) (4x+7) D=5xx4x+5xx7-3x4x-3x7 D=20x² +35x-12x-21 D=20x² +23x-21 E (6x-7)(4x+9) E = 6xx E = 24x² +54x-28x-63 E = 24x² +26x-63 <9-7x4x-7> F=8xx7x+8xx (-3) -5x7x-5 × (-3) F = 56x²-24x-35x+15 F = 56x259x + 15 G=(6x-3) (8x-7) G=6xx8x+6xx (-7)-3x8x-3x (-7) G=48x²-42x-24x+21 G=48x²-66x+21 H= (1-7x)(1+7x) H=1x1+1x7x-7xx1-7xx7x H=1+7x-7x-49x² H = -49x² + 1 I= (3-6x) (4-8x) I=3x4+3x (-8x)-6xx4-6xx (-8x) I= 12-24x 24x+48x² I=48x² - 48x + 12 J= (-3-6x)(-5x-7) J=-3x(-5x)-3x(-7)-6xx(-5x)-6xx(-7) J = 15x+21+30x² +42x J=30x² +57x+21 K= (5x-6)(-6x-8) K = 5xx (-6x)+5xx (-8)-6x (-6x)-6×(-8) K = -30x² 40x+36x+48 K=-30x² - 4x +48 L=(-7x-8)(8-7x) L=-7xx8-7xx(-7x)-8x8-8× (-7x) L = -56x-x+49x² - 64+56x L=49x²-64 M = (3x-7)(-3x-7) r M = 3xx (-3x)+3xx (-7)-7x(-3x)-7*(-7) M-9x² -21x+21x+49 M = -9x² +49 N = (5x-6)(-5x-6) N= 5xx (-5x)+5xx(-6)-6x (-5x)-6×(-6) N=25x² 30x+30x+36 N = -25x²+36 O=(-6-4x) (1 - 9x) 0=-6x1-6x (-9x)-4xx 1-4xx (-9x) O=-6+54x 4x+36x² O=36x² +50x-6 P= (-4x+3)(-5-9x) P=-4xx-5-4xx (-9x)+3x(-5)+3× (-9x) P=20x+36x² - 15-27x P=36x²-47x-15 PROPRIÉTÉ : a, b et k des nombres DÉVELOPPEMENT ET RÉDUCTION DES EXPRESSIONS LITTÉRALES EXPERT Développer et réduire une expression littérale complexe comprenant deux blocs séparés par un signe plus ou moins kx (a+b) = kxa+kxb On obtient comme conséquence, ce qu'on appelle abusivement, la double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Un signe moins devant une expression entre pa- renthèse, indique qu'il faut calculer l'opposé de cette expression. Pour cela on calcule l'opposé de chaque terme. Calcul littéral VI B (6x-4) (5x-2)+(3x-9) (9x-8) C=(-6x-3)(1-7x) + (6-5x) (4x-9) D= (1-5x) (5x+3)+(-1-6x) (-5-7x) Troisième Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes : A = (4x+3)(5x+2)+(4x+7) (5x+9) E = (3x-8)(3x+8)+(5x-1) (5x + 1) EXEMPLES : Z= (5x+3)(4x+2)+(6x-1)(4x-3) Z = (20x² + 10x + 12x+6) + (24x² − 18x−4x+3) Même si les grandes parenthèses sont inutiles ici, il est souvent utile de les faire apparaître pour guider les calculs. Z=20x² +22x+6+24x² - 22x+3 Z=44x² +9 Y = (6-2x)(-3-7x)-(5x-3) (6x + 4) Y = (-18-42x+6x+14x²) − (30x² +20x-18x-12) Ici, les grandes parenthèses sont indispensables. Le signe moins de- vant le second bloc indique qu'il faut calculer l'opposée de l'expres- sion en prenant l'opposé de chaque terme. Y = -18-42x+6x+14x²-30x²-20x+18x+12 Y = -16x²-38x-6 F = (6x +9) (5x+1) - (5x+3)(6x + 1) G= (3x-7) (6x-7)-(3x-1)(5x-1) H=(-6-5x) (7-x)-(1-3x)(-3-5x) I= (5x-9) (5x+9) - (6x+3)(6x+3) J= (1-x)(1+x)-(x-3)(x-3) Calcul littéral VI- Correction Troisième Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes : A = (4x+3)(5x+2)+(4x+7) (5x+9) La présence des parenthèses ci-dessous permettent de repé- rer les deux blocs de calculs. Elles sont inutiles quand elles ne sont pas précédées du signe moins. Il est cependant souvent utile de les faire apparaître pour organiser les calculs. A = (20x² +8x+15x+6) + (20x²+36x+35x+63) A = 20x² +23x+6+20x² +71x+63 A = 40x² +94x+69 B (6x-4) (5x-2)+(3x-9) (9x-8) B= (30x²12x-20x+8)+(27x²-24x-81x+72) B = 30x² -32x+8+27x²105x+72 B=57x²137x+80 C = (-6x-3)(1-7x) + (6-5x) (4x-9) C = (-6x+42x²-3+21x) + (24x-54-20x² +45.x) C=42x² +15x-3-20x² +69x-54 C=22x² +84x-57 D= (1-5x) (5x+3)+(-1-6x)(-5-7x) D = (5x+3-25x²15x) + (5+7x+30x+42x²) D = -25x² - 10x+3+42x² +37x+5 D=17x² +27x+8 E = (3x-8)(3x+8) + (5x-1)(5x + 1) E = (9x² +24x 24x-64) + (25x² +5x-5x-1) E = 9x 64+25x² - 1 E=34x²-65 F = (6x + 9) (5x+1)-(5x+3)(6x + 1) F = (30x² +6x+45x+9) − (30x² +5x+18x+3) Attention au passage à l'opposé. Il faut changer le signe des termes de la seconde parenthèse. F = 30x² +51x+9-30x²-23x-3 F = 28x+6 G= (3x-7) (6x-7)-(3x-1)(5x-1) G=(18x²-21x-42x+49) - (15x²-3x-5x+1) G= 19x² - 63x+49-15x² +8x-1 G=4x²-55x+48 H=(-6-5x) (7-x)-(1-3x) (-3-5x) H = (-42+6x-35x+5x²)-(-3-5x+9x+15x²) H = -42-29x+5x²+3-4x-15x² H=-10x²-33x-39 I= (5x-9) (5x+9) - (6x+3)(6x+3) I= (25x² + 45x45x+81)-(36x² + 18x+18x+9) I= 25x² +81-36x²-36x-9 I=-11x²-36x+72 J= (1-x)(1+x) - (x-3)(x-3) J= (1+x-x-x²)-(x²-3x-3x+9) J= -x² +1-x² +6x-9 J= -2x² +6x-8 Calcul littéral VII Troisième Lycée DÉVELOPPEMENT ET RÉDUCTION DES EXPRESSIONS LITTÉRALES Développer et réduire une expression littérale complexe comprenant toutes les difficultés PROPRIÉTÉ : a, b et k des nombres kx (a+b) = kxa+kxb On obtient comme conséquence, ce qu'on appelle abusivement, la double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc+bd Un signe moins devant une expression entre pa- renthèse, indique qu'il faut calculer l'opposé de cette expression. Pour cela on calcule l'opposé de chaque terme. B= (4x-3) (2x-1)-6(2x-1)+7x² C=3(5x-1) (2x + 3) D= (6x-1) (4x+3)-5x² +3-(5x-1) EXEMPLES: Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes : A = 5x(4x-1)-(x-1)(3x+2) E = 1-(5x-1) (4x+1)+3x(1-4x) +5x² Z= (5x+3)(4x+2)+(6x-1)(4x-3) Z = (20x² + 10x + 12x+6) + (24x² - 18x-4x+3) Même si les grandes parenthèses sont inutiles ici, il est souvent utile de les faire apparaître pour guider les calculs. Z=20x² +22x+6+24x²-22x+3 Z=44x² +9 Y = (6-2x)(-3-7x)-(5x-3) (6x + 4) Y = (-18-42x+6x+14x²) - (30x² +20x-18x-12) Ici, les grandes parenthèses sont indispensables. Le signe moins de- vant le second bloc indique qu'il faut calculer l'opposée de l'expres- sion en prenant l'opposé de chaque terme. Y = -18-42x+6x+14x²-30x²-20x+18x+12 Y=-16x²-38x-6 F = (5x-1)(3x + 2)(4x-3) HORS CATÉGORIE G=5x²-(4x²-3x+1)-3x(3x - 1) (4x+2) H=1-[1-(1-(-5x-1)(3x+3) - (5x-1)) - 1] + 1 I= 6x(5x+3)(4x-1)-7(4x+2)(3x + 4) A Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes : A= 5x(4x-1)-(x-1)(3x+2) A = (20x²5x)-(3x²+2x-3x-2) A=20x²5x-3x²+x+2 A = 17x² - 4x+2 Calcul littéral VII - Correction Troisième Lycée B= (4x-3) (2x-1)-6(2x-1)+7x² B=8x² - 4x-6x+3-12x+6+7x² B = 15x²15x+9 C=3(5x-1)(2x + 3) C=3(10x² +15x-2x-3) C=30x² +45x-6x-9 C=30x² +39x-9 D= (6x-1) (4x+3)-5x² +3-(5x-1) D=24x² + 18x-4x-3-5x² +3-5x+1 D=19x² +9x-2 E=1-(5x-1) (4x+1)+3x(1-4x) +5x² E=1-(20x² + 5x-4x-1) +3x12x² + 5x² E=1-20x²5x+4x+1+3x-12x² +5x² E = -27x²+2x+2 F = (5x-1)(3x+2)(4x-3) F = (5x-1) (12x²-9x+8x-6) F = (5x-1) (12x²-x-6) F=70x³5x² 30x-12x²+x+6 F=70x³ - 17x² - 30x+6 G=5x²-(4x²-3x+1)-3x(3x - 1)(4x + 2) G=5x²-4x²+3x-1-3x(12x²+6x-4x-2) G=x²+3x-1-36x³ - 18x² + 12x² + 6x G=-36x³-5x² +9x-1 H=1-[1-(1-(-5x-1)(3x+3) - (5x-1)) - 1] + 1 H = 1 [1-(1-(-15x² - 15x-3x-3) - (5x − 1)) − 1] +1 H=1 [1-(1+15x² + 15x+3x+3-5x+1) − 1] + 1 H = 1 [1-(15x² + 13x+5)-1]+1 H=1-[1-15x² – 13x−5 −1] +1 H = 1-[-15x² - 13x+5] +1 H = 1+15x² +13x-5+1 H = 15x² + 13x-3 I= 6x(5x+3)(4x-1)-7(4x+2) (3x + 4) I= 6x(20x²5x+12x-3)-7(12x² +16x+6x+8) I= 6(20x² +7x-3) -7(12x² +22x+8) I= 120x² +42x-18-84x²-154x-56 I=36x²-112x-74 PROPRIÉTÉ : a, b et k des nombres. FACTORISER FACTORISER, c'est écrire une somme sous la forme d'un produit. La factorisation qui utilise la formule ci- dessus demande la présence d'un facteur commun. A = 45x-18 B = 48x² - 40x C= 12y² +48y Calcul littéral VIII Quatrième FACTORISATION À FACTEUR COMMUN Factoriser une expression dont le facteur commun est un terme simple D=56x - 72 kxa+kxb= kx (a + b) Factoriser au maximum les expressions suivantes : E = 19x19 F = 63y²-49y EXEMPLES: Z = 18x + 9x Z=xx (18+9) (Z = 27x Quand on effectue cette opération, on factorise! Y=24x-36 Y = 12 x 2x 12 x 3 Y = 12(2x-3) On pouvait factoriser 6, 3 ou 2. G=29x² - 13x H=48x²42x+54 I=21x² +9x-3 J = 28x²-27x-26 X = 25x² + 35x X = 5xx 5x+5xx 7 X=5x(5x+7 W = 42xy²-21x²y+35xy W = 7xyx6y-7xyx3x+7xyx5 SOCLE COMMUN W=7xy(6x-3x+5) En développant mentalement on peut vérifier que la factorisation ne contient pas d'erreur. K = 16a²b-24ab²+36ab L = 25x²y²-35x²y+30xy² Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Factoriser au maximum les expressions suivantes : A = 45x-18 A=9x5x-9x2 A = 9(5x-2) B = 48.x² - 40x B=8xx 6x-8x x 5 B=8x(6x-5) Calcul littéral VIII - - Correction Quatrième C = 12y² +48y C = 12yxy+12y x 4 C = 12y(y + 4) On pouvait aussi factoriser 6, 3 ou 2. Mais on demande le plus grand facteur commun! C=6yx2y+6yx 8 = 6y(2y+8) C=3yx 4y+3y x 16 = 3y(4y + 16) C=2yx6y+2yx 24 = 2y(6y +24) D=56x - 72 D=8x7x-8x9 D=8(7x-9) On pouvait aussi factoriser 4 ou 2. D=4x14x-4x 18 = 4(14x-18) D=2x28x-2x 36=2(28x-36) E = 19x19 E = 19 x x 19 x 1 E = 19(x-1) F = 63y²-49y F=7yx9y-7yx 7 F=7y(9y-7) G=29x² - 13x G=xx29x-xx 13 G= x(29x13) H=48x² - 42x+54 H=6x8x² - 6x7x+6x9 H=6(8x²-7x+9) On pouvait aussi factoriser 3 ou 2. H=3x16x²-3x 14x+3 x 18 = 3(16x²14x+18) H=2×24x²2x21x+2x27=2(24x² - 21x+27) I=21x² +9x-3 I=3x7x² + 3x3x-3 x 1 I=3(7x² + 3x - 1) J=28x²-27x-26 Il n'y a aucun facteur commun. Cette expression n'est pas factorisable! K = 16a²b-24ab²+36ab K-4abx4a-4abx 6b+4ab x 9 K=4ab(4a-6b+9) On pouvait factoriser a, b, 4, 4a, 4b ou ab. L=25x²y²-35x²y+30xy² L = 5xy x 5xy-5xyx7x+5xyx6y L=5xy(5xy-7x+6y) On pouvait factoriser 5, x, y, xy, 5x ou 5y Troisième FACTORISATION À FACTEUR COMMUN Factoriser une expression dont le facteur commun est regroupé dans une parenthèse PROPRIÉTÉ : a, b et k des nombres kxa+kxb= kx (a + b) FACTORISER FACTORISER, c'est écrire une somme sous la forme d'un produit. La factorisation qui utilise la formule ci- dessus demande la présence d'un facteur commun. A = 9x(6x + 1) +9x(5x-8) B=3x² (1-x) - 3x² (5x-3) Calcul littéral IX C=7x(1-x)-7x(3x+1)+7x D = (4x-1)(3x+2)+(4x-1) (6x + 7) Factoriser au maximum les expressions suivantes : E = (1-x)(3x+5) + (1-x)(4x-9) F = (5x-3) (6x+1)+(6x + 1) (3x - 1) EXEMPLES: Z= 7x(5x-1)+7x(4x+2) Z=7xx [(5x-1)+(4x+2)] Entre les crochets, se une somme de deux expressions simples! trouve Z= 7x(5x-1 + 4x + 2) Z= 7x(9x + 1) Y = (5x-1)(3x+1)+(5x-1)(4x+2) Y = (5x-1) x [(3x+1)+(4x+2)] Y = (5x-1)(3x+1+4x+2) Y = (5x-1)(7x+3) X = (6x-1)(3x+2)-(5x-7) (6x-1) X = (6x-1) x [(3x+2)-(5x-7)] Entre les crochets, la présence du signe moins devant la parenthèse, signifie qu'il faut calculer l'op- posée de l'expression, c'est-à-dire, l'opposé de chacun de ses termes. X= (6x-1)(3x+2-5x+7) X= (6x-1)(-2x+9) G= (4x+7) (6x-1)-(4x+7) (2x-7) H = (3x + 1) (5x-1)-(3x+7) (3x + 1) I= (5x-1)2-(5x-1)(2x+3) J= (5x+2)(3x-1)+(3x-1)² ÉVALUATION K= (3x + 1)(1-5x)-(1-5x)² A A Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Factoriser au maximum les expressions suivantes : A = 9x(6x + 1) +9x(5x-8) >A = 9x x (6x + 1) + 9x x (5x-8) A=9xx [(6x + 1) + (5x-8)] A = 9x(6x +1+5x-8) A=9x(11x-7) B=3x² (1-x) - 3x² (5x-3) ->B=3x² x (1-x) - 3x² x (5x-3) B=3x²2 x [(1-x) - (5x-3)] B=3x² (1-x-5x+3) B=3x²(-6x+4) Calcul littéral IX- Correction Troisième C=7x(1-x)-7x(3x+1)+7x >C= 7xx (1-x) -7xx (3x+1)+7xx1 C= 7xx [(1-x)-(3x + 1) + 1] C=7x(1-x-3x-1+1) C=7x(-4x+1) D= (4x-1)(3x+2)+(4x-1) (6x+7) >D= (4x-1) × (3x+2)+(4x − 1) × (6x+7) D= (4x-1) [(3x+2)+(6x+7)] D= (4x-1)(3x+2+6x+7) D= (4x-1) (9x+9) E = (1-x)(3x+5) + (1-x) (4x-9) -> E = (1 - x) × (3x + 5) + (1 − x) × (4x − 9) E = (1-x) [(3x+5)+(4x-9)] E = (1-x)(3x+5+4x-9) E = (1-x) (7x-4) F = (5x-3) (6x+1)+(6x + 1) (3x - 1) ->F = (5x − 3) x (6x + 1) + (6x + 1) × (3x − 1) F = (6x + 1) [(5x-3)+(3x-1)] F = (6x-1) (5x-3+3x-1) F = (6x-1) (8x-4) G= (4x+7) (6x-1)-(4x+7) (2x-7) -> G = (4x+7) × (6x − 1) - (4x+7) × (2x-7) G= (4x+7) x [(6x-1)-(2x-7)] G= (4x+7) (6x-1-2x+7) G= (4x+7) (4x+6) H = (3x + 1) (5x-1)-(3x+7) (3x + 1) _>H= (3x + 1) x (5x-1)-(3x+7) x (3x+1) H = (3x+1)x [(5x-1)-(3x+7)] H = (3x + 1) (5x-1-3x-7) H = (3x + 1)(2x-8) I= (5x-1)²-(5x-1)(2x+3) I= (5x-1) (5x-1)-(5x-1)(2x+3) >1= (5x-1) x (5x-1) - (5x-1) x (2x+3) I= (5x-1) x [(5x-1)-(2x+3)] I= (5x-1)(5x-1-2x-3) I= (5x-1)(3x-4) J= (5x+2) (3x-1)+(3x + 1)² J = (5x+2) (3x-1)+(3x-1)(3x - 1) ->J= (5x+2) x (3x-1)+(3x-1)×(3x - 1) J= (3x-1) [(5x+2)+(3x - 1)] J= (3x-1) x (5x+2+3x-1) J= (3x-1) (8x + 1) K= (3x + 1)(1-5x)-(1-5x)² K = (3x + 1)(1-5x)-(1-5x) (1-5x) ->K= (3x+1) x (1-5x) - (1-5x) ×(1-5x) K= (1-5x) x [(3x+1)-(1-5x)] K= (1-5x) (3x+1-1+5x) K= (1-5x) (8x) On peut aussi écrire H = 8x(1-5.x) FACTORISATION À FACTEUR COMMUN Factoriser une expression complexe dont le facteur commun est regroupé dans une parenthèse PROPRIÉTÉ : a, b et k des nombres. kxa+kxb= kx (a+b) FACTORISER FACTORISER, c'est écrire une somme sous la forme d'un produit. La factorisation qui utilise la formule ci-dessus demande la présence d'un facteur commun. Calcul littéral X Troisième Lycée Factoriser au maximum les expressions suivantes : A = (6x-1)(4x-7)+(6x-1)(3x+1)+(6x-1) B=3(5x+3)(6x-2)-2(5x+3)(7x-3) C=(8-7x)2-5(8-7x)+(5x-1)(8-7x) D= (3x-1)² + (3x-1) (5x-1) + (3x - 1) E = (3x-1)(1-3x)-(1-3x) (5x-1)+(1-3x) (2x + 1) EXEMPLES: Z= (5x+2)(3x-1)-(5x+2)(3x+1)+(5x+2) ->Z = (5x + 2) × (3x − 1) − (5x + 2) × (3x + 1) + (5x + 2) x 1 Z= (5x+2) x [(3x-1)+(3x+1) + 1] Z= (5x+2)(3x-1+3x+1+1) Z= (5x+2) (6x + 1). Y = (7-3x) (4x+1)-(3x-7)(3x + 2) Il faut remarquer que 7-3x est l'opposé de 3x-7 soit 7-3x = -(3x-7). Y=(-(3x-7)) (4x+1)-(3x-7)(3x+2) Y = (3x-7) x [-(4x+1)-(3x+2)] Y = (3x-7)(-4x-1-3x-2) Y= (3x-7)(-7x-3) F = (4x+7)² +3(4x-7)(4x+7) - (4x+7) G= (3x-1)(5x+1)+(-3x+1)(4x + 2) H = (5x-9) (3x+9)-(5x-9) (2x-1)-(5x-9) ÉVALUATION I=(7x-3)²-(3-7x) (2x-1)+(3-7x) J= (5x-35) (4x-1)-(6x-42) (4x+2)+(x-7)(3x-9) Calcul littéral X - Correction Troisième Lycée sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Factoriser au maximum les expressions suivantes : A = (6x-1) (4x-7)+(6x-1)(3x+1)+(6x-1) r A = (6x-1) × (4x-7)+(6x-1) x (3x+1)+(6x - 1) × 1 Il faut penser à faire apparaître, au moins mentalement, le facteur 1. A= (6x-1) [(4x-7)+(3x+1) + 1] A = (6x-1)(4x-7+3x+1+1) A = (6x-1) (7x-5) B=3(5x+3)(6x-2)-2(5x+3)(7x-3) B= (5x+3) x 3(6x-2)-(5x+3) x 2(7x-3) B= (5x+3) [3(6x-2)-2(7x-3)] B= (5x+3)(18x-6-14x+6) B= (5x+3)(4x) B = 4x(5x+3) C=(8-7x)2-5(8-7x)+(5x-1)(8-7x) r C=(8-7x) [(8-7x)-5+(5x-1)] C=(8-7x) (8-7x-5+5x-1) C=(8-7x) x (8-7x)-5x (8-7x) + (5x-1) x (8-7x) C=(8-7x)(-2x+2) D= (3x-1)2+(3x-1)(5x-1) + (3x-1) D= (3x-1) x (3x-1)+(3x-1) x (5x-1)+(3x-1) x 1 D= (3x-1) [(3x − 1) + (5x-1) + 1] D= (3x-1)(3x-1+5x-1+1) D= (3x-1) (8x-1) E = (3x-1)(1-3x)-(1-3x) (5x-1)+(1-3x) (2x + 1) E = (1-3x) x (3x-1)-(1-3x) x (5x-1) + (1-3x) x (2x+1) E = (1-3x) [(3x-1)-(5x-1) + (2x + 1)] E = (1-3x) (3x-1-5x+1+2x+1) E = (1-3x) (1) E = 1-3x F = (4x+7)² +3(4x-7)(4x+7)-(4x+7) F = (4x+7) x (4x+7)+3(4x-7) x (4x+7) - (4x-7) x 1 F = (4x+7) [(4x+7)+3(4x-7)-1] F = (4x+7) (4x+7+12x-21-1) F= (4x+7) (16x-15) G= (3x-1) (5x+1)+(-3x+1)(4x + 2) On remarque que-3x+1=-(3x-1) G= (3x-1) (5x+1)+ [-(3x-1)](4x + 2) G= (3x-1) (5x+1)-(3x-1) (4x+2) G= (3x-1) [(5x+1)-(4x+2)] G= (3x-1) (5x+1-4x-2) G= (3x-1)(x-1) H = (5x-9) (3x+9)-(5x-9) (2x-1)-(5x-9) H = (5x-9) x (3x+9)-(5x-9) x (2x-1)-(5x-9) × 1 H= (5x-9) [(3x+9)-(2x-1)-1] H = (5x-9) (3x+9-2x+1-1) H=(5r-9)(x+9) I=(7x-3)²-(3-7x) (2x-1)+(3-7x) I=(7x-3)²-[-(-3+7x)] (2x-1)+ [-(-3+7x)] On peut remarquer que 3-7x=-(-3+7x) = -(7x-3) I=(7x-3)²+(-3+7x) (2x-1)-(-3+7x) I=(7x-3) (7x-3)+(7x-3) (2x-1)-(7x-3) On pouvait aussi remarquer que: (7x-3)² = (-(-7x+3))² = (3-7x)² Deux opposés ont le même carré! I=(7x-3) [(7x-3) + (2x-1)-1] I=(7x-3) (7x-3+2x-1-1) I=(7x-3) (9x-5) J= (5x-35) (4x-1)-(6x-42) (4x+2)+(x-7)(3x-9) On remarque que 5x-35= 5xx-5x7=5(x-7) Et que 6x-42=6xx-6x7=6(x-7) J= [5(x-7)] (4x-1)-[6(x-7)] (4x+2)+(x-7)(3x-9) J= 5x (x-7) x (4x-1)-6x (x-7) x (4x+2)+(x-7) x (3x-9) J=(x-7) [5(4x-1)-6(4x+2)+(3x-9)] J=(x-7)(20x-1-24x-12+3x-9) J=(x-7)(-x-22) PROPRIÉTÉ : a, bet k des nombres B=(x-4)² D = (2x+4)² Calcul littéral XI Troisième Lycée LES IDENTITÉS REMARQUABLES Développer et réduire des expressions simples en utilisant les identités remarquables (a + b)(c + d) = ac + ad + bc+bd Développer et réduire les expressions suivantes : A = (x+3)² C = (x+5)(x-5) E = (3x-4)² DÉVELOPPER (a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)²) =a² - 2ab + b² (a + b)(a - b) = a²-b² EXEMPLES: Z= (x + 1)² Z=x²+2xxx 1+12: ce calcul doit se faire mentalement! Z=x²+2x+1 Le premier terme est le dernier terme sont les carrés des termes de la somme. Le terme central est le double du produit du premier et du deuxième terme. Y = (5x+9)² Y = (5x)² + 2 x 5x x 9+9²: ce calcul doit se faire mentalement! Attention, (5x)2 = 25x²5x². Y = 25x² +90x+81 F = (5x+6) (5x-6) G=(7x+8)² H = (6x-9)² I= (9x+8) (9x-8) J=(7-3x)² X = (6x-7)² X = (6x)²-2x6xx 7+7² Pour calculer le double produit, il est souvent plus rapide de calculer le pro- duit des deux termes puis de calculer le double de ce produit. 6x x 7 = 42x puis 2 x 42x = 84x X=36x²-84x +49 W = (7x+6) (7x-6) W = 49x2-36 K = (8x+3)² L= (9+5x) (5x-9) M = (10x + 9)² N = (9-5x)² ÉVALUATION 0 (9x-3) (9x+3) Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Développer et réduire les expressions suivantes : A = (x+3)² A=x²+2xxx3+3² A=x²+6x+9 B=(x-4)² B=x²-2xxx 4+4² B=x²-8x+16 C = (x+5)(x-5) r C=x²-5² C=x²-25 D = (2x+4)² y D = (2x)² + 2x2xx 4+4² D=4x² +16x+16 E = (3x-4)² y E = 9x²-24x+16 Calcul littéral XI - Correction Troisième Lycée E = (3x)2-2x3xx 4+4² F = (5x+6) (5x-6) r F = 25x²-36 F = (5x)²-6² G=(7x+8)² G=(7x)² +2×7xx8+8² G=49x² +112x+64 H = (6x-9)² y H= (6x)2-2x6xx9+9² H=36x² - 108.x+81 I= (9x+8) (9x-8) y I= (9x)²-8² I=81x²-64 J=(7-3x)² r J=7²-2x7x3x+(3x)² J=49-42x+9x² K = (8x+3)² y K = (8x)2 + 2x8xx3+3² K = 64x² +48x+9 L= (9+5x) (5x-9) L=9²-(5x)² L=81-25x² M = (10x+9)² M = (10x)2 +2 x 10xx 9+9² M = 100x² +180x+81 N = (9-5x)² N=9²-2x9x5x+(5x)² N=81-90x+25x² O=(9x-3) (9x+3) 0=(9x)²-3² 0=81x²-9 PROPRIÉTÉ : a, b et k des nombres (a + b)(c+d) = ac + ad + bc + bd Calcul littéral XII Troisième Lycée LES IDENTITÉS REMARQUABLES Développer et réduire des expressions complexes en utilisant les identités remarquables DÉVELOPPER C (a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)²) = a² - 2ab + b² (a + b)(a - b) = a²_b² B=(x-7)² + (x-9)² Factoriser au maximum les expressions suivantes : A = (x+6)² + (x+8)² D = (2x+7)²-(3x+5)² C = (x+3)(x-3) + (2x+4) (2x-4) E = (3x-4)² (7x-8)² F = (5x+6) (5x-6)-(6x-5) (6x + 5) EXEMPLES: Z= (x + 1)² Z=x²+2xxx 1+12: ce calcul doit se faire mentalement! Z=x²+2x+1 Le premier terme est le dernier terme sont les carrés des termes de la somme. Le terme central est le double du produit du premier et du deuxième terme. Y = (5x+9)² Y = (5x)² + 2 x 5x x 9+9²: ce calcul doit se faire mentalement! Attention, (5x)2 = 25x²5x². Y=25x² +90x+81 G=(7x+9)²-(3x + 1)² X = (6x-7)² X = (6x)²-2x6xx 7+7² Pour calculer le double produit, il est souvent plus rapide de calculer le pro- duit des deux termes puis de calculer le double de ce produit. 6x x 7 = 42x puis 2 x 42x = 84x X=36x²-84x +49 W = (7x+6) (7x-6) W = 49x²-36 H (6x-8)2-(5x-1)(2x+3) I= (9x+7) (9x-7)-(6x +9)² J=(7-3x)²-(7x+3)(1-7x) K= (8x+3)²-(5x+9) (5x-8) ÉVALUATION L= (5x-1)2-(4x+2)²-(1-5x) (5x+1) Calcul littéral XII — Correction Troisième Lycée sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Factoriser au maximum les expressions suivantes : A = (x+6)² + (x+8)² A = (x² + 12x+36) + (x² +16x+64) A = 2x² +28x+100 B=(x-7)² + (x-9)² B= (x²14x+49) + (x² - 18x+81) B=2x2-32x+130 C = (x+3)(x-3) + (2x+4) (2x-4) C=(x²-9)+(4x² + 16) C=5x² +7 D = (2x+7)²-(3x+5)² D= (4x² +28x+49)-(9x² +30x+25) D=4x²+28x+49-9x²-30x-25 D = -5x²2x24 E = (3x-4)2-(7x-8)² E (9x² -24x+16) - (49x² - 112x+64) E=9x²-24x+16-49x² +112x-64 E = -40x² +88.x-48 F = (5x+6) (5x-6)-(6x-5) (6.x+5) F = (25x²-36) (36x² - 25) F = 25x²-36-36x² +35 F=-11x²-1 G=(7x+9)²-(3x + 1)² G= (49x² +126x+81)-(9x² +6x + 1) G=49x² +126x+81-9x² - 6x-1 G=40x² + 120x+80 H (6x-8)2-(5x-1)(2x+3) H = (36x²96x+64) -(10x² +15x-2x-3) H = 36x² - 96x+64-10x²15x+2x+3 H = 26x²109x+67 I= (9x+7) (9x-7)-(6x+9)² I= (81x²-49) - (36x² +108x+81) I=81x²-49-36x²-108.x-81 I=45x²-108.x- 130 J=(7-3x)²-(7x+3)(1-7x) J = (49-42x+9x²)-(7x-49x² +3-21x) J=49-42x+9x²-7x+49x²-3+21x J = 58x²-28x+46 K= (8x+3)² (5x+9) (5x-8) K= (84x² +48x+9) - (25x²-40x+45x-72) K = 84x² +48x+9-25x² +40x-45x+72 K = 59x² +43x+81 L= (5x-1)²-(4x+2)2-(1-5x) (5x+1) L = (25x² - 10x + 1) − (16x² + 16x+4)= (5x+1-25x²–5x) L=25x² - 10x+1-16x²-16x-4)-5x-1+25x² + 5x L=34x² -26x-4 PROPRIÉTÉ : a, b et k des nombres B = x+ C= D= Calcul littéral XIII Troisième-Lycée DÉVELOPPEMENT D'EXPRESSION TRÈS COMPLEXES Développer et réduire des expressions très complexes utilisant la distributivité, les identités remarquables et les fractions Développer et réduire les expressions suivantes : A = (x − 3)(²x + ²) E = 3x 4 (a + b) (c+d) = ac + ad + bc + bd DÉVELOPPER (a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)²) = a² - 2ab + b² (a + b)(a - b) = a²-b² (3x 5 (3) EXEMPLES: z=(2x-2)(3x-²) Il faut des compétences en calcul littéral et en fractions. 12 Z= 2 1 Z=6x²-2xx - ·x 3x+ 32 Avec ce niveau de complexité, il est conseillé d'écrire les produits. Z=6x²- 4x 3x 2 + 3 2 6 2x4x 3x3x 1 2 x 3 3x2 8x 9x 1 3 + 6 6 17x 1 3 6 Z=6x²- Z=6x²- Z=6x²- F= - (+)²-(-3)* G= (²-3) (-)-(-) (²³) + H- (3 - 4 ) ² - ( ¹ - 3) (² - - ) = I= ¹ = ( ¼ ×x − 3 ) ² − (³²-* - - ) (³² + ³ ) + ( x − ³ ) ² ÉVALUATION Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symbole procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Développer et réduire les expressions suivantes : A = (x − 3)(²x + ³) 2 A = 2x² + ³x - 1x²x-x ² 2x A=2x² + A = 2x² + A = 2x² + A = 2x² B = B = B = =1/2²- B = B = C= x+ 4 1 = 12/27x ·x²==x+=x-2 3 4 C= 2 1 2 B=3xx -x+ ² xx(-2)+1xx+1× (-2) 4 3 C= C= x² 6 +² 6 9.x² 20 2x 2x 2 5 3 15 9x² 20 C= 2xx 3 5x 3 6x 15 9.x² 20 4x 2 15 15 c=(³-3) (-3) C= 10x 15 16x 12 2x x 5 3 x 5 4x x 4 xx 3 3x4 4x3 13.x 12 3x + -2 12 3x -2 2 15 9.x² 25x 6x 20 25 25 12x 6x 8 + 12 25 15 31x 25 6x 8 25 15 (-3) - ² × ³/-² × (-3) 8 + 15 + Calcul littéral XIII — Correction Troisième Lycée sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la |ထ 2 15 15 2 D= D= D= D = E= E = E = F= F= - (+47) ² - G= 9x² 30x 25 + + 25 20 16 (4x (7-3)³² G= 9x² 3x 25 + 25 2 16 F=- G= F= F = (1 + ² ) ² - (²³/1² - ²3 ) ² P= ( ( )² + ²× × + ( )³²) - (( )²³ - 2× × ² + (²) x² 2x 1 9.x² 12x 16 12 9 16 12 +2x 16x² 24x 9 49 35 5 3x -8.x² 14x 3 12 9 16 3x 3x 28 X + G=(-3) (-3)-(²-3)(²+3) x²7x 1 + 2 6 3 4x 3 G=- -+ 7.x² 12 6 G----- 35 12 +25)-(5/2² 12 4 9 3x x 60 6 x²2xx 112 x²x6 8xx112 3xx105 7 28 x 60 35 12 15x112 2x6 15×112 16x 105 35 6x² 8x 3x x² 2x 2 8x 3x 1 1/22 - 0565 +2 +165 180x r.² 224x 6x² 896x 315x 1680 35 12 1680 12 1680 1680 177x 1 1680 35 H=(3-4)²-(¹-3) (2² - ) H-(2-24x+¹6)-(2--²5+) 49 H = = H= H=- |H= I= I= 9 25 9 9 I= 16x² 32x 1=- 15 I= 24x 16x² + 35 49 16x² x 35 24x 35 49 x 35 + 511x² 1715 1465x² 576 41 5x 560x² + 25 35 1715 1024x² 32x 576 15 35 --G-D²-G-DG+D+G-#* I= - 16/² 32x + 16-(3x + 6x -3x-2) + 40x² 1465x² 576 X 7 32x 6x 15 8 1465x² 576 41 25 50 5x 14x 25 35 35 9x 8 X 2x x² 2+ + 7 5 35 6x 6 8 6 64 -x+- 49x² 1715 6x 4252 8 3675 + 2 49,2 42x 3x 1225 441x² 3x 675 8 3675 576 3675 49x² 35 x 49 466x 4252 120 3675 56 49 90x 120x 4252 256x 120 120 120 3675 + PROPRIÉTÉ : a, b et k des nombres FACTORISER FACTORISER, c'est écrire une somme sous la forme d'un produit. La factorisation qui utilise la formule ci-dessus demande la présence d'un facteur commun. B=x²-25 Factoriser au maximum les expressions suivantes : A=x²-9 C=9x²-36 Calcul littéral XIV Troisième Lycée FACTORISATION AVEC LES IDENTITÉS REMARQUABLES Factoriser une expression littérale en utilisant les identités remarquables D=16x²-49 kxa+kxb= kx (a + b) a²b² = (a + b)(a - b) E=81x²-64 F=x²-(3x + 1)² EXEMPLES: Z=x²-1 Z=x²-1² Z= (x+1)(x-1) Y = 4x²-9 Y = (2x)²-3² = (2x+3)(2x-1) G= (4x-1)²-64 H=(7x+4)²-16x² I= (6x-1)²-(3x+8)² J= (3x+7)²-(5x-3)² K= (9x+8)² (8x-9)² X= (5x − 1)2 – 16 X= (5r− 1)2 _ 42 X=[(5x−1)+4][(5x−1)−4] |X= (5x+3)(5x-5)| W = (6x-3)²-(7x+9)² W = [(6x-3) + (7x+9)] [(6x-3) - (7x+9)] W = (6x-3+7x+9) (6x-3-7x-9) W = (13x+6)(-x-12) A L = (6x-3)²-(7x+4)² M = (7x-9)²(6x+3)² N = (11x + 12)²(9x-11)² N=9x²-17 EXPERT 0=5r-3 Correction Les calculs écrits avec ce style et précédés par le symboles sont des commentaires. Il n'est pas utile des les écrire sur votre copie. Il s'agit de la procédure mentale qui permet d'obtenir le résultat. Factoriser au maximum les expressions suivantes : A=x²-9 A = x² - 3² A= (x+3)(x-3) B=x²-25 B=x²-5² B= (x+5)(x-5) C=9x²-36 C = (3x)²-6² C= (3x+6) (3x-6) D=16x² - 49 D = (4x)²-7² D= (4x+7) (4x-7) E=81.x²64 E = (9x)²-82 E = (9x+8) (9x-8) Calcul littéral XIV- Troisième Lycée F=x²-(3x + 1)2² F = [x+ (3x+1)] [x-(3x+1)] F = (x+3x+1)(x-3x - 1) F = (4x+1)(-2x-1) G= (4x-1)2-64 G= (4x-1)²-8² G= [(4x-1)+8] [(4x-1)-8] G= (4x 1+8)(4x-1-8) G= (4x+7) (4x-9) H=(7x+4)²-16x² H = (7x+4)²-(4x)² H = [(7x+4) + 4x] [(7x+4)-4x] H= (7x+4+4x) (7x+4-4x) H=(11x+4) (3x+4) I= (6x-1)2-(3x+8)² I= [(6x-1) + (3x+8)] [(6x-1)-(3x+8)] I= (6x-1+3x+8) (6x-1-3x-8) I= (9x+7) (3x-9) J= (3x+7)²-(5x-3)² J= [(3x + 7) + (5x-3)] [(3x+7)-(5x-3)] J= (3x+7+5x-3) (3x+7-5x+3) J= (8x+4) (-2x+10) K= (9x+8)2 (8.x-9)² K = [(9x+8) + (8x-9)] [(9x+8) - (8x-9)] K = (9x+8+8x-9) (9x+8-8x+9) K= (17x-1)(x+17) L = (6x-3)²-(7x+4)² L = [(6x-3) + (7x+4)] [(6x-3) - (7x+4)) L = (6x-3+7x+4) (6x-3-7x-4) L= (13x+1)(-x-7) M = (7x-9)²(6x+3)² M = [(7x-9) + (6x+3)] [(7x-9) - (6x+3)] M = (7x-9+6x+3)(7x-9-6x-3) M = (13x-6) (x - 12) N= (11x+12)2(9x-11)² N = [(11x+12) + (9x−11)] [(11x+12) - (9x-11)] N = (11x+12+9x-11) (11x+12-9x+11) N = (20x+1)(2x + 1) N=9x² - 17 N = (3x)²-(√17)² |N= (3x+√17) (3x-√17) 0=5r-3 0=(√5x)²-(√3)² 0=(√5x+√3)(√5x-√3) Dans ce document, on trouve, au 2 mars 2023: 5 themes traités; - 36 fiches proposées; 446 exercices à réaliser.