Les bases de la trigonométrie

La trigonométrie est une branche des mathématiques qui s'applique uniquement aux triangles rectangles. Elle utilise trois rapports fondamentaux entre les côtés d'un triangle rectangle.

Voici les formules essentielles à retenir :

• Sinus (Sin) = côté Opposé / Hypoténuse
• Cosinus (Cos) = côté Adjacent / Hypoténuse
• Tangente (Tan) = côté Opposé / côté Adjacent

Pour vous aider à mémoriser ces formules, vous pouvez retenir le moyen mnémotechnique : SOH CAH TOA.

Concept clé : Dans la trigonométrie du triangle rectangle, chaque rapport (sinus, cosinus, tangente) représente une relation entre les longueurs des côtés par rapport à un angle donné.

Méthode de résolution d'un problème :

1. Repérez l'angle α dont vous cherchez la mesure et identifiez la nature des deux côtés connus (Hypoténuse, Adjacent, Opposé)
2. Choisissez la formule appropriée (cos α, sin α, tan α) qui relie les deux côtés identifiés
3. Calculez la valeur du cosinus, du sinus ou de la tangente de α

Applications et exercices de trigonométrie

4. Utilisez la fonction inverse (cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹) sur votre calculatrice pour déduire la valeur de l'angle α

Exercice 1 : Construction d'un cabanon

M. Moreira veut construire un cabanon et doit déterminer la longueur AC des tasseaux de bois nécessaires.

Dans le triangle ABD rectangle en A :

• tan(ABD) = AD/AB = 3,55/5,93
• L'angle ABC = ABD = 30,91°

Solution :

1. L'angle ABC est d'environ 30,91°
2. Dans le triangle ABC rectangle en C :
   • sin(ABC) = AC/AB
   • sin(30,91°) = AC/5,93
   • AC = 5,93 × sin(30,91°) ≈ 3,05 m

Exemple pratique : Pour déterminer la longueur AC, on utilise la formule du sinus car on connaît l'hypoténuse (AB) et on cherche le côté opposé à l'angle (AC).

Exercice 2 : Installation d'une tyrolienne

Un parc d'accrobranche veut installer une tyrolienne partant d'un arbre à 15 mètres du sol. À l'arrivée, le câble doit faire un angle de 10° avec le sol.

Solution :

• Sin(ABC) = AC/AB = 15/AB
• AB = 15 / sin(10°)
• AB ≈ 86,38 m

La longueur du câble nécessaire est donc d'environ 86,38 mètres.

Astuce calculatrice : Pour convertir un sinus en angle avec votre calculatrice Casio fx-92, utilisez la touche "sin⁻¹" (ou "shift" puis "sin"). Pour la tangente inverse, utilisez "tan⁻¹" (ou "shift" puis "tan").