Diviseurs communs et fractions irréductibles
Cette page approfondit le concept de diviseurs communs, introduit le plus grand commun diviseur PGCD, et explique comment simplifier les fractions pour les rendre irréductibles.
Définition: Le plus grand commun diviseur PGCD de deux nombres est le plus grand nombre qui divise les deux sans laisser de reste.
Exemple: Pour trouver le PGCD de 162 et 108, on liste d'abord tous leurs diviseurs :
Diviseurs de 15 : 1, 3, 5, 15
Diviseurs de 30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Le PGCD est donc 15.
Cette méthode illustre comment trouver le plus grand diviseur commun de manière systématique.
Highlight: Une fraction est irréductible lorsqu'elle ne peut plus être simplifiée, c'est-à-dire que son numérateur et son dénominateur n'ont plus de diviseur commun autre que 1.
Exemple: Pour simplifier une fraction comme 450/60 :
450 = 5 × 3 × 3 × 2 × 5
60 = 3 × 2 × 2 × 5
En divisant le numérateur et le dénominateur par leurs facteurs communs 3×2×5, on obtient la fraction irréductible 15/2.
Cette démonstration montre comment rendre une fraction irréductible en utilisant la décomposition en facteurs premiers, une technique essentielle pour simplifier une fraction avec x variables ou nombres complexes.