Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

En chute libre, un objet n'est soumis qu'à son poids $𝑃⃗ = 𝑚𝑔⃗$ et les actions de l'air sont négligées. Dans un domaine restreint de l'espace, l'accélération de la pesanteur 𝑔 est considérée comme constante et uniforme.

Les équations horaires de la vitesse s'obtiennent à partir de 𝑎⃗ = 𝑑𝑣⃗/𝑑𝑡, donnant :

• 𝑣𝑥(𝑡) = 𝑣₀ cos α
• 𝑣𝑦(𝑡) = −𝑔𝑡 + 𝑣₀ sin α
• 𝑣𝑧(𝑡) = 0

Les équations horaires de position s'obtiennent comme primitives, aboutissant à :

• 𝑥(𝑡) = 𝑣₀ cos α × 𝑡 + 𝑥₀
• 𝑦(𝑡) = −½𝑔𝑡² + 𝑣₀ sin α × 𝑡 + 𝑦₀
• 𝑧(𝑡) = 𝑧₀

💡 La trajectoire d'un objet en chute libre suit une parabole d'équation 𝑦 = $−𝑔/2𝑣₀² cos²α$𝑥² + tan α × 𝑥, quand l'origine est au point de lancer.

Aspect énergétique dans un champ de pesanteur

L'étude énergétique d'un mouvement dans un champ de pesanteur fait intervenir deux formes d'énergie essentielles : l'énergie cinétique (𝐸𝑐 = ½𝑚𝑣²) qui dépend de la vitesse, et l'énergie potentielle de pesanteur (𝐸𝑝𝑝 = 𝑚𝑔𝑧) qui dépend de l'altitude.

L'énergie mécanique est la somme de ces deux énergies : 𝐸𝑚 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝𝑝. En chute libre, où les actions de l'air sont négligeables, l'énergie mécanique se conserve $Δ𝐸𝑚 = 0$. Ce principe est fondamental pour analyser les mouvements verticaux.

Le théorème de l'énergie cinétique nous dit que Δ𝐸𝑐 = Σ𝑊(𝐹⃗ᵢ), soit la variation d'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces. Le travail d'une force 𝑊(𝐹⃗) = 𝐹⃗.𝐴𝐵⃗ peut être moteur (𝑊 > 0) quand 0° < α < 90° ou résistant (𝑊 < 0) quand 90° < α < 180°.

🔑 Dans un lancer ou une chute, l'énergie mécanique reste constante mais se transforme continuellement entre énergie cinétique et potentielle, expliquant les variations de vitesse.

Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme

Dans un condensateur plan constitué de deux plaques métalliques parallèles, on crée un champ électrique uniforme 𝐸⃗. Une particule de charge 𝑞 placée dans ce champ subit une force électrique 𝐹⃗ = 𝑞𝐸⃗.

La direction et le sens de la force dépendent du signe de la charge :

• Si 𝑞 > 0 : 𝐸⃗ et 𝐹⃗ ont même sens
• Si 𝑞 < 0 : 𝐸⃗ et 𝐹⃗ ont des sens opposés

En appliquant la deuxième loi de Newton (Σ𝐹⃗ₑₓₜ = 𝑚𝑎⃗ₐ) dans le référentiel terrestre supposé galiléen, on obtient l'accélération 𝑎⃗ₐ = 𝑞𝐸⃗/𝑚. Ceci nous permet de déterminer les équations horaires de la vitesse :

• 𝑣ₓ(𝑡) = 𝑣ₓ₀
• 𝑣ᵧ(𝑡) = −$𝑞𝐸/𝑚$𝑡 + 𝑣ᵧ₀

💡 La trajectoire d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme est également parabolique, similaire à celle d'un objet dans le champ de pesanteur.

Aspect énergétique dans un champ électrique

Les conditions initiales au lancement déterminent complètement le mouvement de la particule chargée. Si l'origine est au point de lancement $𝑥₀ = 0, 𝑦₀ = 0$, et avec un vecteur vitesse initial 𝑣⃗₀ (𝑣ₓ₀ = 𝑣₀ cos α, 𝑣ᵧ₀ = 𝑣₀ sin α), on peut exprimer les équations de position complètes.

L'aspect énergétique du mouvement dans un champ électrique est décrit par le travail de la force électrique entre deux points A et B :

• 𝑊ₐ→ᵦ(𝐹⃗ₑₗₑ) = 𝑞 × 𝑈ₐᵦ

La variation d'énergie cinétique correspond exactement à ce travail :

• Δ𝐸𝑐 ₐ→ᵦ = 𝑊ₐ→ᵦ(𝐹⃗) = 𝑞 × 𝑈ₐᵦ

🔍 Cette relation montre la conversion d'énergie potentielle électrique en énergie cinétique, similaire à la conversion d'énergie potentielle de pesanteur observée dans la chute libre.